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Édition du: 25/04/2021

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800 / 900 / 1 000 / 2 000 / 5 000 /

10 000 / 100 000 / 106 / 109  / 10100

700

710

720

730

740

750

760

770

780

790

720

721

722

723

724

725

726

727

728

729

 

   

 

 

 

 

*      Sept-cent-vingt-neuf.

*      Seven hundred and twenty-nine.

Facteurs

= 93 = 272

Binaire

10 1101 10012

Bases

10000003     13318   10009

9980   33 242

Romain

DCCXXVIX

 Suite

*      Composé

*      Curzon

*      Déficient

*      Forme (2k+1)²

*      Friable (3-friable)

*      Friedman

*      Frugal

*      Puissant

*      Smith

*      Totient parfait

 

Géométrique

*      Complètement carré

*      Octogonal centré (14e)

 

 

Puissances de 6 et somme de ler inverse

16

26

36

46

56

1

64

729

4 096

15 625

 

Ésotérisme

*           729 Nombre appartenant au Soleil selon Plutarque.

 

Œuvres morales de Plutarque, Volume 5

>>>

Voir Nombre 729 par Platon

 

 

Chiffres et numération

72 + 9 = 81 = 34

*      Devient bicarré en ajoutant une combinaison des chiffres.

729 = 36 = 1 000 0003

*      Un million en base 3.

729 = 83 + 3x8² + 3x8 + 1

        = 13318

        = 26² + 2 x 26 + 1 = 12126

*      Palindrome en base 8 et en base 26.

729   = 36 = 93 = 27²
= (32)2 = (3²)3
= 104 x 7 + 1

*      Trois puissances.
Deuxième nombre carré et cube à la fois. Le seul à trois chiffres.

Tout nombre carré et cube à la fois est de la forme 7k ou 7k + 1.

*      Nombre de Friedman: égal à une opération sur ses chiffres.

 

 

Addition – Partition

729 = T26 + T27 = 351+ 378

*      Somme de deux nombres triangulaires.

729 = 45² – 36²

       = (36 + 9)² – 36²

*      Motif général pour les cubes.

729 = 364 + 3652

= 242 + 243 + 2443
= 119 + 120 +  121 + 122 + 123 + 1246
= 77 + 78 + 79 + 80 +  81 + 82 + 83 + 84 + 859
= 32 + … + 40 + … + 4918
= 14 + … + 27 + … + 4027

*      Le plus petit nombre 6-polis,  six fois somme de consécutifs.
L'indice indique la quantité de termes.
Ce nombre a sept diviseurs impairs, soit six sommes de consécutifs.

729 = 27² = 1 + 3 + 5 +…+ 53

*      Le carré de n est la somme des n premiers impairs.

729 = 45² – 36² =  27² =  9² x 3²

*      Nombre complètement carré.

729 = 3652 – 3642 = 93 x 13

*       Différence de carré = produit de cubes.

729 = 14 + 15 + … 40

*       Une des six sommes de nombres consécutifs >>>

729 = 1 + 8 + 16 + 64 + 128 + 512

*       Puissance de 3, somme de puissances de 2 distinctes.

729 = 93 = 13 + 63 + 83

       = 13 + 33 + 43 + 53 + 83

*      Cube, Somme de trois cubes (ou de deux cubes à une unité près). Précédent du même type: 216.

*      Somme de cinq cubes du fait que 63 est la somme de trois cubes.

 

Multiplication et division

729 = 93 = (2 + 3 + 4)3

       = 8 x 9 x 10 + 9

       =  720         + 9 = 729

*      Un cube est égal au produit du nombre par ses deux voisins plus le nombre >>>

729

Diviseurs: {1, 3, 9, 27, 81, 243, 729}

7 + 2 + 9 = 3+3+3+3+3+3 = 18

7x2x9 = 126 et 126/18 = 7

*      Totient parfait.

*      Nombre de Smith.

*      Produit des chiffres (126) divisible par la somme des chiffres des facteurs (18).

 

Inverse de 729

La période de ce nombre périodique est 81. En arrangeant les chiffres par rangées de neuf, les trois premiers offrent une certaine régularité.

La fin de période est en 31, alors que le début est en 13. Ce qui offre un palindrome à la jointure: …310013…

001 371 742

112 482 853

223 593 964

334 705 075

445 816 186

556 927 297

668 038 408

779 149 519

890 260 631

Relation avec 1/9

Les trois racines de x3 = 1/729:

Voir Nombre 0,1111…

 

 

Puissance

729 = 27²

       =  13 + 33 + 43 + 53 + 83

*      Carré somme de cubes.

*      Suite infinie de carrés avec des nombres en 266…667
Avec k "6", le carré contient k fois le "1" et k fois le "8".

V. Thébault- 1943

*      Ces sortes de suites sont très nombreuses.

Exemple de multiplication posée =>

729 = (1 + 2 + …+ 9)²

        – (1 + 2 + … + 8)²

        = 45² – 36² = 93

*    Propriété

729 = 33 x 33

*       Nombre à motif ab . ba.

729 = 3.33 + 3.63 = 1.93

        = 3(33 + 63) = 93

        = 3 x 35 =  36 = 93

*      Exemple de l'égalité de Fermat.
Propriété de 35 = 243

*      Seul nombre dont la différence entre la racine carrée et la racine cubique vaut 18.

Calcul proposé au calculateur prodige Giacomo Inaudi.

Un truc: comment calculer la racine cubique de 729? D'abord factoriser en remarquant que 729 est divisible par 9: 729 = 9 x 81 = 9 x 9 x 9 et le tour est joué!

 

 

Identité détaillée

Voir Diviseurs,  Quantité, Somme, Fonctions arithmétiques

 

 

Platon et le facteur 729 = 93

 

Extrait de La République de Platon ou dialogue sur la justice de Platon

Socrate: Le tyran est le troisième, à compter depuis l'oligarchie, car le démocratique est entre les eux (…) Le tyran est donc éloigné du vrai plaisir le triple du triple. 

Glauc: Oui, ce me semble.

Socrate: Par conséquent le fantôme de plaisir du tyran, à le considérer selon sa longueur, peut être exprimé par un nombre plan.

Glauc: Oui.

Socrate: Or, en multipliant cette longueur par elle-même, et l'élevant à la troisième puissance, il est aisé de voir combien le bonheur du tyran est éloigné de la vérité.

Glauc: Rien n'est plus aisé pour un calculateur.

Socrate: Maintenant, si l'on renverse la progression,  et qu'on cherche de combien le plaisir du roi est plus vrai, on trouvera, le calcul fait, que le roi est sept cent vingt-neuf fois plus malheureux que le tyran, et que celui-ci est plus malheureux dans la même proportion. 

Glauc: Vous venez de trouver par un calcul tout à fait surprenant l'intervalle qui sépare le bonheur du juste et celui de l'injuste.

 

Explication selon l'auteur de la traduction en 1752

Le bonheur du tyran a trois fois mois de réalité que celui de l'oligarchique. Celui de l'oligarchique en a trois fois moins que celui du roi. Le bonheur du tyran a donc neuf fois moins de réalité que celui du roi.

Le nombre neuf est un nombre plan, puisque c'est le carré de trois.

Platon considèrent ces deux bonheurs, l'un réel et l'autre apparent,  comme deux solides dont toutes dimensions sont proportionnelles.

En partant de la proportion de 9 en longueur, il trouve que le bonheur du tyran est 729 fois moindre que celui du roi.

 

Notez la manière d'écrire en 1752

 

Voir Nombre de Platon 12 960 000

 

 

 

 

 

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