NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Débutants

Nombres

DicoNombre   NOMBRES

Glossaire

Nombres

 

<<< Quarante-quatre

 

43

42

41

40

45

 

Quarante-six >>>

 

47

48

49

50

QUARANTE -CINQ

Maths

Culture

 Curiosités  45

Divisibilité par 45

 

 

 

 

 

 

Nombre qui, en lettres, se contient lui-même:

 

QU4R4NTE + C1NQ

44 + 1 = 45

Une femme met quarante-cinq ans pour arriver à la trentaine.

Oscar Wilde

Voir Chiffres pour lettres / Nombres autocodes / Nombres alphabétiques /

Expressions avec 45 / Pensées & humour

 

 

CARTE D'IDENTITÉ

Nombre

Composé

 

Département

Loiret

Facteurs

45 = 1 x 3² x 5

 

Élément

Rhodium Rh

Pté Typique

45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

        + 6 + 7 + 8  + 9

 

Mnémo

RÂLE

 

Suite Maths

 

 

Suite Culture

 

 

 

Propriétés CULTURELLES

Anglais

 

Allemand

Espagnol

Italien

Romain

Latin

Grec

Forty-five

Forty-fifth

Fünfundvierzig

Cuarenta y cinco

Quarantacinque

XLV

Quadraginta quinque

Pentatetraconta

Voir Nombres et langues

 

 

*       Quarante-cinq  

*       Quarante-cinquième

*       Quarante-cinquièmement


 

Voir Orthographe des nombres

 

Géométrie

*      45° = 1 octant

Angle de 45°.

Part d'un cercle partagé en huit (quart divisé en deux).

Le triangle rectangle isocèle possède deux angles à 45%

Balistique

*      45°

Angle de jet pour une portée maximum du javelot.

Navigation

*      L'octant a un limbe de quarante-cinq degrés au lieu de soixante pour le sextant.

Sport

*      45 minutes = ¾ d'heure

Une partie de football comprend deux mi-temps de 45 minutes.

 

*      45 ans

Limite d'âge entre senior et vétéran.

 

*      Une partie de pelote se joue en 45 points.

Jeux

*      45 s'affiche sur les calculettes avec autant de barrettes que l'indique la somme de ses chiffres.

*      Carré latin   pannumérique

*      Croix pannumérique

Littérature

*      Les Quarante-Cinq – Roman d'Alexandre Dumas – 1848.

Langue

*      Mittvierziger: Personne d'environ 45 ans chez les Allemands.

Musique

*      Disques 45 tours  (correspond à 45 rotations par minute)

Dans les années 70, les mange-disques étaient des électrophones à fente recevant les disques 45 tours

Anglais: Single, car il y avait qu'une seule chanson par face.

Voir 33 tours

Histoire

*      Guerre de 39-45: deuxième guerre mondiale (1939-1945).

Voir Nombre 39

Social

*      45 ans de mariages: noces de Vermeil en France.

Sapphire wedding anniversary in USA

Histoire

*   45 ans : les personnes nées en 1980 auront 45 ans

en 2025 = 45². Le carré de leur âge. Événement rare.

Biologie

*      45 possibilités de descendances selon les groupes sanguins des parents.

*      45 (de 40 à 50) grains de blé dans un épi.

     300 à 1000 grains dans un épi de maïs

Consommation

*      Pernod 45: marque d'une boisson anisée dont le degré d'alcool est de 45 volumes.

 

Sport

*      45 jours 13 heures et 42 minutes

Record du tour du monde à la voile en janvier 2012.

 

 

 

 

 

Propriétés MATHÉMATIQUES

Facteurs

45 = 1 x 3² x 5

Diviseurs

1, 3, 5, 9, 15, 45

Quantité

6

Somme

78

S - N

33

 

Base    2

3

8

101 101

1 200

55

10

45

12

16

39

2D

 

*      impair

*      déficient

*      composé

*      idonéal

*      Kaprekar

*      congruent

*      triangulaire

*      Harshad

*      Coster

*    Stirling 1

*      Mian-Chowla

*      Pascal  C102

*      hexagonal

*      figuré d'ordre 16 (hexadécagonal)

Voir Nom des nombres

Nombres géométriques

 

 

Chiffres

4, 5, 45, 54

*          Le nombre 45 est formé à partir de deux chiffres consécutifs.

*          Quatre nombres formés avec les chiffres de 45.

45 = 5 x (4 + 5)

54 = 6 x (5 + 4)

*       Seul nombre cinq fois somme de ses chiffres. Le suivant avec 6 est 54, son retourné.

4 + 5 = 5² – 4² = 9 = 3²

*          Propriété générale des nombres impairs.

45 = (4 + 4) 5 + 5

4545

4545 …45

*      Nombre de Coster (opérations utilisant deux fois ses chiffres). Motif valable pour tous les nombres à deux chiffres terminés par 5.

*      Générateur d'une séquence de nombres de Coster se poursuivant sans cesse.

 

Addition

45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

        + 6 + 7 + 8  + 9

*          Partition unique avec les neuf chiffres.

*          Somme maximum avec des chiffres différents.

*          Constante du carré alphamagique.

*          Calcul simple de ce genre de sommes.

*          Progression arithmétique de raison 1.

*          Plus petite somme des chiffres concaténés.

45 = 5 x 9

*          Nombre égal à neuf fois ses unités.

45 = 5 (4 + 5)

*          Seul  nombre cinq fois la somme de ses chiffres.

45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

         + 6 + 7 + 8 + 9

      = 9 x 10 / 2

      = 1 + 5 + 9 + 13 + 17

      = 1                   + 15 + 29

*          Somme de tous les chiffres de  1 à 9.

*          9e Nombre Triangulaire.

*          5e Nombre hexagonal.

*          3e Nombre figuré d'ordre 16 (hexadécagone).

45 = 1 +   2 + … +   9

     =      5 +   6 + … + 10

     =         7 +   8 + … + 11

     =             14 + 1 5 + 16

     =                          22 + 23

*       Le plus petit nombre cinq fois somme d'entiers consécutifs.

*       Nombre 5-poli.

45 = 2 + 2 + 41 = 3 + 5 + 37 = 3 + 11 + 31
= 3 + 13 + 29 = …

*       Plus petit nombre douze fois somme de trois nombres premiers.

45 = 14 + 15 + 16

*      Nombre impair somme de trois impairs consécutifs.

Tous les nombres impairs divisibles par k sont sommes de k nombres impairs. Voir Tableau

 

Le nombre 45 comme somme de k impairs consécutifs

 

Voir Unités des puissances

45 = (10+2) + (10-2) + (10x2) + (10/2)

*       Somme des quatre opérations.

45 = 4 + 20 + 21 = 5 + 12 + 23 = 7 + 8 + 30  

      & 4 x 20 x 21 = 5 x 12 x 23 = 7 x 8 x 30  = 1 680

*      Trois tripartitions dont les produits des termes sont identiques.

Multiplication

*      Factorielle quadruple de 2
   = (4x0+1) (4x1+1) (4x2+1)
   = 1 x 5 x 9

45 x   987679 = 44445555
45
x 2222000 = 99990000

*      Deux seuls nombres en aaaabbbb divisibles par 45. Objet d'une énigme.

 

Division

*      Les 20 nombres de 100 à 999 divisibles par 45 (par 5 et par 9).

*      Il y en a 200 pour les nombres de 1 000 à 9 999 et, plus généralement: il y en a 2x10k–1 pour les nombres en 10k.

Facteurs de 45 = {3, 5}

+ 3 => {6, 8} qui divisent 45 + 3 = 48

*       Nombre facteur-3-diviseur.

PGCD(45, 2k+1 < 45) = 1

*      Les 11 nombres impairs premiers avec 45 sont effectivement premiers.

45 – 2k avec k de 1 à 5

    => 43, 41, 37, 29, 13

*      Sont tous premiers.

Nombre 45 et puissances

45 = 3² + 6²

     = 2² + 4² + 5²

*      Nombre binomial.

*      Somme de carrés de nombres distincts. Deux seules en deux ou trois termes.

45 = 13 + 13 + 23 + 23 + 33

*      Somme de cubes.

45 = 23² – 22²

          9² –  

          7² –  

*       Motif général pour tout nombre impair.

*       Différence de deux carrés sous trois formes.
45 est le plus petit; le suivant est 48.

45 = 43 – 33 + 23

*       Somme de trois cubes. Notez la progression des trois nombres au cube.

45 = 6! / 4² = 720 / 16

     = 6! / 24

*       Factorielle divisée.

*       Quantité de combinaisons de 2 parmi 10.

Exemple: 10 candidats aux élections. Il faut 45 débats pour tous les avoir deux à deux.

 

Puissances de 45

45² = 20 25 et  20 + 25 = 45

453 = 91 125 et 9 + 11 + 25 = 45

454 = 4 100 625 et 4 + 10 + 06 + 25 = 45

*       Nombre de Kaprekar d'ordre 2, 3 et 4.
Rare, sinon le seul.

453 = 135² + 270²

       =   54² + 297²

*      Cube somme de deux carrés.

*      Bicarré concaténation de trois carrés.

454 = 14 + 24 + 124 + 24 + 444
= 14 + 84 + 244 + 364 + 384
= 44 + 44 + 264 + 274 + 424
= 64 + 64 + 184 + 364 + 394
= 124 + 184 + 244 + 274 + 424
= 184 + 184 + 274 + 364 + 264

*    Bicarré sommes de cinq bicarrés.

dont les trois dernières sont des multiples de 5 et de 15.
Seule les deux premières comportent des termes distincts.

456 = 8 303 765 625

    &   8+3+0+…+2+5 = 45

*      Nombre NESCHIP.

245 = 35 184 372 088 832

*      Plus petite puissance de 2 avec une suite de trois 8 de suite.

 

Curiosités 

e45 – E = 0,0348

*    Exponentielle proche d'un entier.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

123456789 x 5 = 246913578

123456789 / 2 = 61728394,5

*       Curiosité pannumérique:

Trois sommes de chiffres égales à 45.

5² = 11

56² 45² = 1 111

556² 445² = 111 111

5556² 4445² = 11 111 111

*       Différences de carrés.

Calcul:

b² = (a + b) (a b)

56² 45² = (56 + 45) (56 45)

= 101 x 11= 1 111

Voir Somme de carrés / Différence de carrés

 

Équation

x

2x

x / 2

Différence

2

4

1

3

4

8

2

6

6

12

3

9

30

60

15

45

*       Trouver un nombre dont la différence entre le double et la moitié est 45.

Mise en équation

2x - x/2 = 45

4x - x = 90

x = 30

*       On aurait pu choisir n'importe quel nombre plutôt que 45 à condition qu'il soit divisible par 3.

 

Autour du nombre

45°

*       Demi-angle droit. Pente de la droite: y = x

45°

*       Angle de vision d'un côté d'un octogone depuis son centre.

45°23'

*       Angle particulier dans les cristaux de calcite

 

 

Équation de degré 45 résolue par François Viète (1593)

En 1593, Adrianus Romanus (Adrien Romain, mathématicien flamand) propose cette équation à ces contemporains.

 45x – 3795x3 + 95634x5 – 1138500x7 + 7811375x9 – 34512075x11 + 105306075x13 – 232676280x15 + 384942375x17 – 488494125x19 + 483841800x21 – 378658800x23 + 236030652x25 – 117679100x27 + 46955700x29 – 14945040x31 + 3764565x33 – 740259x35 + 111150x37 – 12300x39 + 945x41 – 45x43 + x45 = N

François Viète (1540-1603), mathématicien français, est le premier à la résoudre. Il a rapidement reconnu que l'équation était satisfaite par la corde d'un cercle de rayon 1, sous-tendant un arc de 8° (2Pi/45). C'est la solution dont disposait  Romanus. En fait, Viète a trouvé les 22 autres solutions  positives. Il en existe autant en négatifs, mais non reconnues en ce temps là. Une amitié entre les deux mathématiciens se noue. Les solutions de Viète sont publiées en 1595 sous le titre: Ad problema quod omnibus mathematicis totius orbis construendum proposuit Adrianus Romanus, responsum.

À la fin du texte, Viète propose de résoudre le dernier problème (le dixième) du traité perdu d'Apollonius: tracer un cercle tangent à trois cercles donnés.

La résolution de ces deux problèmes vaut à Viète une notoriété immédiate parmi les mathématiciens de l''époque et du futur. C'est lui qui donnera la valeur de Pi avec cette formule faite de racines imbriquées:

Voir Brève 666

 

 

 

 

 

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Site

*    François Viète – Wikipédia

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