NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Débutants

Nombres

DicoNombre   NOMBRES

Glossaire

Nombres

8

7

6

5 / 4 / 3 / 2

1

0,1

0,001

0

9

10

11 / 12

15

20 / 50

100 / 500

1000

Nombre 9

Culture

Maths 9

Multiplication

Expressions en 9

Débutant 9

Culture (suite)

9, …

Divisibilité par 9

Proverbes avec 9

Quizz 9

Division par 9

Preuve par 9

Magie du 9

Horloge maths

 

 

 

 

Quoi de neuf, docteur?

Célèbre jeu qui consiste à reconstituer les nombres avec k fois le même chiffre

Ici, les nombres de 1 à 12 avec trois 9 au maximum

Voir Horloge / Horloges avec indications mathématiques

 

 Nombre moins la somme des chiffres = 9

Voir Propriété générale / Magie du 9

 

 

Une jeune poulette rentrant de l'école, annonce son exploit de la journée: Maman, j'ai eu un 9.

Voir Pensées & humour

 

 

 

CARTE D'IDENTITÉ

 

 

9

 

 

Facteurs

1 x 3²

Numération

Base 2

3

4

5

8

1001

100

21

14

11

10

9

12

16

Romain

9

9

IX

Diviseurs

1, 3, 9

Quantité

3

Somme

13

S - N

4

 

Voir Partitions

 

 

Caractérisation du nombre

*      2-rond

*      Auto-nombre

*      Chanceux

*      Chanceux d'Ulam

*      Composé (le plus petit impair)

*      Composé inévitable (ou minimal)

*      Cullen

*      Déficient

*      Dissécable

*      Idonéal

*      Impair
Plus petit nombre impair composé.

*      Interpremier

*      Motzkin

*      Padovan

*      Proth

*      Refactorisable

*      Refactorisable (consécutif à 8)

*      Totient parfait

*      Van der Waerden

Géométrique

 

*      Carré

*      Cubique centré

*      Ennéagonal

*      Maison

*     Octogonal centré

Préfixes diviseurs et multiplicateurs:

 

10-9 nano

10 9 giga
       (milliard)

 

 

 

 

 

Voir

Nom des nombres

Nombres selon langues

Nombres selon bases

Fonctions arithmétiques

 

 

Propriété majeure

La somme des chiffres d'un nombre divisible par 9 est également divisible par 9  >>>

Sum of all digits of a number divisible by 9 is also divisible by 9.

 

 

Numération – Chiffres – Dénombrement

 

9 = (2 x 2 – 1) (2² – 2 + 1)

   = 8 x 1 + 1

*       Nombre cubique centré.

*       Nombre octogonal centré.

9 = 2 x 22 + 1

*       Nombre de Cullen.

xy + x + y ne donne jamais 9

*       Auto-nombre

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

 

9 divise 123456789

9 divise 987654321

9 divise 135792468, etc.

*       Un nombre formé par une permutation quelconque de ces neuf chiffres est toujours divisible par 9. La somme des chiffres et, en effet, toujours 45, divisible par 9.

9, 19, 9, 52

Cycle: 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

*      Le cycle de Syracuse de 9 comporte 19 étapes, un record. Il atteint une altitude maximale avec 52 au rang 9.

 

 

Addition – Partition

Diagramme de Ferrers du nombre 9

Voir Diagramme de Ferrers

 

9 = 4 + 5 = 3 + 6

   = 2 + 7 = 1 + 8

   = 3 + 3 + 3 = …

*       30 partitions du nombre 9.

9 + 9 = 18

9 x 9 = 81

*       La multiplication retourne l'addition, mais les résultats sont toujours en neuf (1+8 = 8+1 = 9).

*       Motif unique avec 9.

9 = 1 + 1 + 1 + 3 + 3

 = 1 x 1 x 1 x 3 x 3

*       Motif avec somme et produit.

9 =  4 + 5 = 2 + 3 + 4

   = 3²

*       Deux sommes de nombres consécutifs.

*       Somme d'entiers consécutifs =  carré.

9 = 5 + 4 = 3 x 3

*       Somme de consécutifs, égale à un multiple du précédent.

9 = 3 + 6

*       Somme de 2 triangulaires.
Comme tous les carrés.

9 = 1 + 2 + 6

    = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4

*       Trois seules sommes de chiffres différents donnant 9. Avec les permutations, il y en a 18.

9 + 10 + 11+ 12

   = 13 + 14 + 15

*       Somme de nombres consécutifs.
Propriété de tous les carrés.

9 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3

*       Plus petit nombre deux fois somme de trois nombres premiers.

Multiplication – Division

Table de multiplication du 9

Voir Table complète

 

Multiplication et division mentales (deux chiffres)

Multiplication de n par 9

Dizaine = n – 1

Unité = Complément à 9 de la dizaine

Division par 9

Quotient = dizaine

Reste = somme des deux chiffres (tenir compte de la retenue éventuelle)

 

Voir autres explications en Division par 9, 19 … / Brève 559

Division par 9 de grands nombres (calcul mental)

 

 

09  18  27  36  45 

54  63  72  81  90

*       Table de multiplication par neuf. La table de multiplication du neuf est palindromique. Elle est très simple à mémoriser.

Rappel: 9 x 9 = 8 x 10 + 1 = 81

1233 => 1+2+3+3 = 9

1233 = 9 x 137            (exemple)

*       Un nombre est divisible par 9 si la somme des ses chiffres est divisible par 9.

Preuve par neuf.

23 x 9 = 207 & 2 + 0 + 7 = 9  (exemple)

*       La somme des chiffres d'un produit par 9 est divisible par 9.

(abc - bca) / k

321 – 123 = 198 = 9 x 22 (exemple)

 

9 x 5 = 45 & 45 + 54 = 99 (exemple)

*       Un nombre soustrait de son retourné donne toujours un multiple de 9.

*       Tous les multiples, de 2 à 10, de 9 ajouté à son retourné donne 99.

9 = (2+2) + (2-2) + (2x2) + (2/2)

*       Somme des quatre opérations.

d9 = d + 9 + 9d

49 = 4 + 9 + 4 x 9 = 13 + 36

*       Nombres à deux chiffres terminés par 9 = somme des chiffres + produit des chiffres.

9 = n.m / (n + m)

*       Pour trois couples de nombres seulement.

9 = 27 / 3

*       Avec 27 = somme des facteurs les plus grands jusqu'à 9.

1 / 9 = 0,111…

2 / 9 = 0,222…

3 / 9 = 0,333…

4 / 9 = 0,444…

5 / 9 = 0,555…

6 / 9 = 0,666…

7 / 9 = 0,777…

8 / 9 = 0,888…

9 / 9 = 1

*       Les nombres entiers divisés par 9 produisent une de ces décimales répétitives. Période 1.
Tous les chiffres en séquence.

a/9 = 0,aaa…

ab/99 = 0,ababab…

 

*       Division par 9 et nombres périodiques.
Voir pourquoi les divisions par 9, 99, 999 … engendrent des nombres périodiques.

*       Un nombre de un chiffre divisé par 9 produit ce chiffre répété indéfiniment.

On montre cette propriété en utilisant cette relation:

On poursuit en appliquant la même procédure à 1/90.

*       Division par les nombres en 99…9.

*       Sommes infinies de puissances.

Voir Calcul du développement décimal

*       Le plus petit nombre déficient terminé par 9.

*       Quantité de diviseurs de 36.

7, [9, 12]

     9 = 3² et 10 = 2x5 => 10 – 3 = 7

*       Plus petit nombre tel que son radical (3) est égal au radical du suivant (10) moins 7.

Seul 12 partage cette propriété (n au moins jusqu'à 109).

*      Relation croisée entre la somme des diviseurs et le totient.
Idem pour: 9, 225, 242, 516, 729, 3872, …

9

*      Il existe 9 polynômes unitaires de degré 2 à coefficients entiers dont les racines sont dans le disque unité. Ex: z2 + 1 ou z2 – 1.

 

8n – 7n + 6n – 5n +  4n

                      – 3n + 2n – 1n

*       Divisible par 9 pour les puissances paires.

52 – 42 =     9

54 – 44 = 369

*       Motif divisible par 9 pour les puissances paires.

9 = 144 / 16

   = 46 368 / 5 152

*       Un Fibonacci est divisible par 9, si et seulement si N et Fn sont pairs.

9    (n – 1)3 + n3 + (n + 1)3

 

13 + 23 + 33 = 1 +   8 + 27 = 36 = 9 x   4

23 + 33 + 43 = 8 + 27 + 64 = 99 = 9 x 11

(exemples)

*       La somme des cubes de trois nombres consécutifs est divisible par 9.

Rappel La barre verticale se lit "divise".

9    somme des chiffres …

*       La somme des chiffres d'une puissance d'un multiple de 3 est divisible par 9

9    divise n3

ou produit un reste de -1 ou 1

*       Un nombre au cube est congruent  à -1, 0 ou 1 mod 9.  Autrement dit: un cube est égal à un multiple de 9 ou voisin d'un multiple de 9.

Puissances

 

Sommes identiques des chiffres des puissances

9 = 9

9

95 = 59049

5+9+0+4+9 = 27

92 = 81

8+1 = 9

98 = 43 046 721

4+3+0+4+6+7+2+1 = 27

93 = 729

7+2+9 = 18

97 = 4 782 969

4+7+8+2+9+6+9 = 45

94 = 6 561

6+5+6+1 = 18

99 = 387 420 489

3+8+7+4+2+0+4+8+9 = 45

96 = 531 441

5+3+1+4+4+1 = 18

910 = 3 486 784 401

3+4+8+6+7+8+4+4+0+1 = 45

Voir Tables de telles relations

 

 

9 = 3² = 23 + 13

*       Seule puissance qui en précède immédiatement une autre.

*       Solution de x3 + y3 = z2.

9 = 3² = 2² + 2² + 1²

2² =   4 = 1² + 1² + 1² + 1²

4² = 16 = 2² + 2² + 2² + 2²

*       Premier nombre somme deux fois de carrés répétés deux fois au maximum.

*       Mais le seul carré qui n'est pas somme de quatre carrés.

9 = 13 + 23 = 3 x 3

*       La somme de deux cubes est divisible par la somme des nombres (1 + 2 = 3). Coquetterie avec l'autre diviseur identique.  Cas unique avec 23+23 = 16 = 4 x 4.

9 = 3² = 1 + 3 + 5

*       Nombre n à la puissance n-1.

*       Le carré de n est la somme des n premiers impairs.

*       Cube = Somme de nombres impairs consécutifs. Propriété générale des cubes.

9 =  5  + 4

   =  5² – 4²

*       Motif valable pour tout nombre impair.

9 = 5² – 4² =  3² =  3² x 1²

*       Nombre complètement carré.

29² = (30 – 1)² = 900 – 60 + 1 = 841

(exemple)

*       Calcul mental des carrés en …9 >>>

*       Calcul mental des carrés en 9… >>>

9 = n²

*       Un carré n'est jamais terminé par plus d'un seul 9.

9 = 3²

   = 3² = 23 + 1

 

   =  13 + 23

   = (1 + 2)²

*       Nombre carré (3e).

*       Seul carré somme de deux cubes consécutifs.

Voir Carré et somme de cubes

Voir Carré d'un nombre triangulaire égal somme de cubes

*       Somme de cubes de nombres successifs.

9 = 3² = 5² – 4²

= 3²

*       Différence des carrés de deux nombres consécutifs: 4 et 5 dont la somme est égale au nombre: 9.
Propriété générale des nombres impairs.

*       Triplet de Pythagore.

9 = 1² + 2 x 2²

   = 13 + 1 x 23

   = 22 + 5 x 12

*       Autour des triplets de Pythagore.
Carrés et autres puissances.

9 = 10 – 1² – 0²

   = 11 – 1² – 1²

   = 34 – 3² – 4²

   = 74 – 7² – 4²

   = 90 – 9² – 0²

   = 91 – 9² – 1²

*       Ce motif existe 6 fois avec 9.

C'est le record.

Voir Curiosité

 

8 = 23  & 9 = 32

9 = 3² = 23 – 1

*       Propriété générale des carrés.

*       8 et 9 sont les seules puissances consécutives. Conjecture de Catalan 

9 = (0)3 + 13 + 23

   = 2173 + (–52)3 + (–216)3

   = 20973 + 113053 + (–11329)3
   = …

*       Partition du nombre 9 en sommes de cubes.

9 = 13 + 23 = 3 x 3

*       Somme de puissance de nombres consécutifs divisible par le nombre suivant. Propriété générale.

*       Somme de deux cubes de nombres successifs: n3 + (n+1)3. Elle est toujours divisible par (2n+1).

*       Une des solutions de x3 + y3 = 9, avec un nombre négatif.

9 =     52   42 =   25 –   16

   =     62   33 =   36 –   27

   =   152   63 = 225 – 216

   = 2532 – 403 = 64 009 – 64 000

*       Différences de deux puissances.
Notez 25 et 16 dans deux cas.

92k    = ... 1

92k+1 = ... 9

*       9 élevé à une puissance paire donne 1 pour unité.

*       9 élevé à une puissance impaire donne 9 pour unité.

Nombre en puissances

Voir Puissance / Racine

 

92 = 81 et 8 + 1 = 9

83 = 512 et 5 + 1 + 2 = 8

74 = 2401 et 2 + 4 + 0 +1 = 7

*      Nombre de Kaprekar.

*      Aussi, nombre égal à la somme des chiffres du carré. Cas unique.

*      Pépite en l'associant à 8 et 7.

      7² = 2² + 3² + 6² = 49

= 1² + 4² + 8² = (8 + 1)² = 81

     11² = 2² + 6² + 9² = 121

*      Somme de trois carrés distincts.

Le plus petit avec 7² et le suivant avec 11.
Notez que 10² = 6² + 8²

= 81 => 8 + 1 = 9 = 3²

10² = 100 (1); 11² = 121 (4);

12² = 144 (9); 13² = 169 (16);

14² = 196 (16); 15² = 225 (9)

*      Nombre dont la somme des chiffres du carré est un carré.

Premier tel nombre d'une suite de sept.

*      Carré concaténation de deux cubes.

92 – 1 =     80

93 – 1 =  728 = 8 x 91

*      Toutes les puissances paires de 9,
moins 1, sont divisibles par 80. Sinon (impair): divisible par 8.

*      Tous les chiffres, sauf 8.

Voir Nombre de Lewis Carroll

93 = 729

      = 8 x 9 x 10 + 9

       =  720         + 9 = 729

*      Un cube est égal au produit du nombre par ses deux voisins plus le nombre >>>

93 = 13 + 63 + 83
    = 13 + 33 + 43 + 53 + 83

    = 23 + 23 + 33 + 73 + 73

*      Cube somme de trois cubes distincts.

Les trois seules pour jusqu'à cinq cubes dont
deux avec cubes distincts.

9 cubes pour 23 et 239

*      Théorème de Waring:

Tout nombre est la somme d'au plus neuf cubes. En fait, tous sont somme de huit cubes sauf 23 et 239.

94 = 93 + 183

*      Bicarré somme de deux cubes.

94 = 24 + 44 + 64 + 64 + 64 + 74

= 16 + 256 + 3x1296 + 2401 = 6 561

*      Plus petite solution de ce genre.

9, 81,
729, 6 561,
59 049, 531 441,
4 782 969, 43 046 721,
387 420 489, 3 486 784 401

*      Les dix premières puissances de 9.

L'unité est 1 pour les puissances paires et 9 pour les impaires.

92  = 81

94  = 6561

96  = 531 441

      88  = 16 777 216

910 = 3 486 784 401

*      Aucun chiffre en commun dans le nombre et ces puissances.

…u9 = … u

*      La puissance 9e d'un nombre quelconque se termine par le même chiffre des unités que le nombre lui-même. 

9 9^9 = 9 387 420 489

*      369 millions de chiffres !!!

29 + 9  = 521

*      Élément d'un motif général.

Autour du nombre

0, 1, 2 … 9

*       Le plus grand chiffre du système décimal.

910 = 1003

*       9 = 100 en base 3.

1 ou 9

*       Unité du carré de tout nombre premier supérieur à 5.

9 = Sc{6!, 7!,  8! }

*       Somme des chiffres de ces trois factorielles successives.

9 = !4

   = 4! * (1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!)

*       Sous-factorielle 4.

… 999 999 …

*       762e à 767e décimales de Pi.

(9 x 123 456 789) – 123 456 789

= 987 654 321 – 9

*       Motif pannumérique
(avec les neuf chiffres).

12 345 678 x 9 + 9

                    = 111 111 111

*       Chaîne de formation de repunits.

 

Jeux – Curiosités

456123 – 123456 = 530865

     = 9 x 58985 (exemple)

*       Un nombre et son retourné: leur différence est divisible par 9.

voir Devinette de la date de naissance

72 – 27 = 45 => 54 – 45 = 9 (exemple)

*       Impasse de Kaprekar.

9 = 3² = 65 – 56  et 65 + 56 = 11²

*       Curiosité avec 56 et son retourné.

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 9876

*       Motif itératif.

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

*       Motif itératif.

9 x 987654321 =   8 888 888 889

18 x 987654321 = 17 777 777 778

27 x 987654321 = 26 666 666 667

*       Motif itératif pannumérique.

9 x   1089 =   9801

9 x 10089 = 90801

9 x 10449 = 94041

*   Produits qui conservent les chiffres.

*   Trois seules divisions pannumériques avec quotient égal à 9.

90 + 91 + 92 + … + 9k = …u ?

90 + 91  = 1 + 9 = 10 = …0

90 + 91 + 92 = 10 + 81 = …1

90 + 91 + 92 + 93 = …1 + …9 = …0

Les cinq premières sommes:

[1, 10], [2, 91], [3, 820], [4, 7381], [5, 66430]

*       Unité de cette somme?

L'unité des puissances de 9 est 1 pour les puissances paires et 9 pour les impaires.

L'unité de la somme vaut:

u = 1 si k est impair, et

u = 0 si k est pair.

La somme est un nombre triangulaire.

Voir Brève 41

N = 91 + 92 + 93 + 94

    = 7 380 = 2 x 3 690

*       Comment dire que ce nombre est pair sans calculer la somme? Ou, formulé autrement: quel est le plus petit diviseur de ce nombre

Le nombre 9 est impair, ses puissances sont impaires. La somme de quatre impairs est paire.

9 = 1! + 2! + 3!
9 = 3! + 3

*       Somme de  Factorielles.

*       Faire 9 avec k chiffres identiques.

  9 x 2 =  18   & 1 +   8  =  9

99 x 2 = 198  & 1 + 98 = 99

*       Motif itératif avec les repdigit en 9.

9 = 97524 / 10836  = 95823 / 10647
   = 95742 / 10638   = 75249 / 08361
   = 58239 / 06471   = 57429 / 06381

*       Motif pannumérique
(avec les dix chiffres).

9 x 16 583 742 = 149 253 678

9 x 26 x 531 487 = 627 x 198 354

         = 124 367 958

*       Pannumériques de chaque côté du signe égal.

9 = 4 / 0,444….

*       Bien utile pour le jeu du quatre-quatre et résoudre le cas de 73.

 

Décimales

Voir page dédiée >>>

 

 

 

 

Suite

*    Voir le menu en haut de page

*    Nombre 9 en sciences

*    Division par 9 – Calcul mental, méthode pratique

Voir

*    Planètes

*    Base Ball

*    9 Points

Site

*    Références Internet

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