NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Débutants

Nombres

DicoNombre   NOMBRES

Glossaire

Nombres

8

7

6

5 / 4 / 3 / 2

1

0,1

0,001

0

9

10

11 / 12

15

20 / 50

100 / 500

1000

Nombre 9

Culture

Maths 9

Multiplication

Expressions en 9

Débutant 9

Culture (suite)

9, …

Divisibilité par 9

Proverbes avec 9

Quizz 9

Division par 9

Preuve par 9

Magie du 9

Horloge maths

 

 

 

 

Quoi de neuf, docteur?

Célèbre jeu qui consiste à reconstituer les nombres avec k fois le même chiffre

Ici, les nombres de 1 à 12 avec trois 9 au maximum

Voir Horloge / Horloges avec indications mathématiques

 

 Nombre moins la somme des chiffres = 9

Voir Propriété générale / Magie du 9

 

 

Une jeune poulette rentrant de l'école, annonce son exploit de la journée: Maman, j'ai eu un 9.

Voir Pensées & humour

 

 

 

CARTE D'IDENTITÉ

 

 

9

 

 

Facteurs

1 x 3²

Numération

Base 2

3

4

5

8

1001

100

21

14

11

10

9

12

16

Romain

9

9

IX

Diviseurs

1, 3, 9

Quantité

3

Somme

13

S - N

4

 

Voir Partitions

 

 

Caractérisation du nombre

*      impair

Plus petit nombre impair composé.

*      composé (le plus petit impair)

*      interpremier

*      déficient

*      refactorisable (consécutif à 8)

*      idonéal

*      auto-nombre

*        chanceux

*      chanceux d'Ulam

*      Cullen

*      2-rond

*      Motzkin

*      dissécable

*      Padovan

*      Proth

*      refactorisable

Géométrique

 

*      carré

*      ennéagonal

*      cubique centré

*      octogonal centré

*      totient parfait

Préfixes diviseurs et multiplicateurs:

 

10-9 nano

10 9 giga
       (milliard)

 

 

 

 

 

Voir

Nom des nombres

Nombres selon langues

Nombres selon bases

Fonctions arithmétiques

 

 

Propriété majeure

La somme des chiffres d'un nombre divisible par 9 est également divisible par 9  >>>

Sum of all digits of a number divisible by 9 is also divisible by 9.

 

 

Numération – Chiffres – Dénombrement

 

9 = (2 x 2 – 1) (2² – 2 + 1)

   = 8 x 1 + 1

*       Nombre cubique centré.

*       Nombre octogonal centré.

9 = 2 x 22 + 1

*       Nombre de Cullen.

xy + x + y ne donne jamais 9

*       Auto-nombre

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

 

9 divise 123456789

9 divise 987654321

9 divise 135792468, etc.

*       Un nombre formé par une permutation quelconque de ces neuf chiffres est toujours divisible par 9. La somme des chiffres et, en effet, toujours 45, divisible par 9.

 

 

Addition – Partition

Diagramme de Ferrers du nombre 9

Voir Diagramme de Ferrers

 

9 = 4 + 5 = 3 + 6

   = 2 + 7 = 1 + 8

   = 3 + 3 + 3 = …

*       30 partitions du nombre 9.

9 + 9 = 18

9 x 9 = 81

*       La multiplication retourne l'addition, mais les résultats sont toujours en neuf (1+8 = 8+1 = 9).

*       Motif unique avec 9.

9 = 1 + 1 + 1 + 3 + 3

 = 1 x 1 x 1 x 3 x 3

*       Motif avec somme et produit.

9 =  4 + 5 = 2 + 3 + 4

   = 3²

*       Deux sommes de nombres consécutifs.

*       Somme d'entiers consécutifs =  carré.

9 = 5 + 4 = 3 x 3

*       Somme de consécutifs, égale à un multiple du précédent.

9 = 3 + 6

*       Somme de 2 triangulaires.
Comme tous les carrés.

9 = 1 + 2 + 6

    = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4

*       Trois seules sommes de chiffres différents donnant 9. Avec les permutations, il y en a 18.

9 + 10 + 11+ 12

   = 13 + 14 + 15

*       Somme de nombres consécutifs.
Propriété de tous les carrés.

9 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3

*       Plus petit nombre deux fois somme de trois nombres premiers.

Multiplication – Division

Table de multiplication du 9

Voir Table complète

 

09  18  27  36  45 

54  63  72  81  90

*       Table de multiplication par neuf. La table de multiplication du neuf est palindromique. Elle est très simple à mémoriser.

Rappel: 9 x 9 = 8 x 10 + 1 = 81

1233 => 1+2+3+3 = 9

1233 = 9 x 137            (exemple)

*       Un nombre est divisible par 9 si la somme des ses chiffres est divisible par 9.

Preuve par neuf.

23 x 9 = 207 & 2 + 0 + 7 = 9  (exemple)

*       La somme des chiffres d'un produit par 9 est divisible par 9.

(abc - bca) / k

321 – 123 = 198 = 9 x 22 (exemple)

 

9 x 5 = 45 & 45 + 54 = 99 (exemple)

*       Un nombre soustrait de son retourné donne toujours un multiple de 9.

*       Tous les multiples, de 2 à 10, de 9 ajouté à son retourné donne 99.

9 = (2+2) + (2-2) + (2x2) + (2/2)

*       Somme des quatre opérations.

9 = n.m / (n + m)

*       Pour trois couples de nombres seulement.

9 = 27 / 3

*       Avec 27 = somme des facteurs les plus grands jusqu'à 9.

1 / 9 = 0,111…

2 / 9 = 0,222…

3 / 9 = 0,333…

4 / 9 = 0,444…

5 / 9 = 0,555…

6 / 9 = 0,666…

7 / 9 = 0,777…

8 / 9 = 0,888…

9 / 9 = 1

*       Les nombres entiers divisés par 9 produisent une de ces décimales répétitives. Période 1.
Tous les chiffres en séquence.

a/9 = 0,aaa…

ab/99 = 0,ababab…

 

*       Division par 9 et nombres périodiques.
Voir pourquoi les divisions par 9, 99, 999 … engendrent des nombres périodiques.

*       Un nombre de un chiffre divisé par 9 produit ce chiffre répété indéfiniment.

On montre cette propriété en utilisant cette relation:

On poursuit en appliquant la même procédure à 1/90.

*       Division par les nombres en 99…9.

*       Sommes infinies de puissances.

Voir Calcul du développement décimal

*       Le plus petit nombre déficient terminé par 9.

*       Quantité de diviseurs de 36.

7, [9, 12]

     9 = 3² et 10 = 2x5 => 10 – 3 = 7

*       Plus petit nombre tel que son radical (3) est égal au radical du suivant (10) moins 7.

Seul 12 partage cette propriété (n au moins jusqu'à 109).

 

8n – 7n + 6n – 5n +  4n

                      – 3n + 2n – 1n

*       Divisible par 9 pour les puissances paires.

52 – 42 =     9

54 – 44 = 369

*       Motif divisible par 9 pour les puissances paires.

9 = 144 / 16

   = 46 368 / 5 152

*       Un Fibonacci est divisible par 9, si et seulement si N et Fn sont pairs.

9    (n – 1)3 + n3 + (n + 1)3

 

13 + 23 + 33 = 1 +   8 + 27 = 36 = 9 x   4

23 + 33 + 43 = 8 + 27 + 64 = 99 = 9 x 11

(exemples)

*       La somme des cubes de trois nombres consécutifs est divisible par 9.

Rappel La barre verticale se lit "divise".

9    somme des chiffres …

*       La somme des chiffres d'une puissance d'un multiple de 3 est divisible par 9

9    divise n3

ou produit un reste de -1 ou 1

*       Un nombre au cube est congruent  à -1, 0 ou 1 mod 9.  Autrement dit: un cube est égal à un multiple de 9 ou voisin d'un multiple de 9.

Puissances

9 = 3² = 23 + 13

*       Seule puissance qui en précède immédiatement une autre.

*       Solution de x3 + y3 = z2.

9 = 3² = 2² + 2² + 1²

2² =   4 = 1² + 1² + 1² + 1²

4² = 16 = 2² + 2² + 2² + 2²

*       Premier nombre somme deux fois de carrés répétés deux fois au maximum.

*       Mais le seul carré qui n'est pas somme de quatre carrés.

9 = 13 + 23 = 3 x 3

*       La somme de deux cubes est divisible par la somme des nombres (1 + 2 = 3). Coquetterie avec l'autre diviseur identique.  Cas unique avec 23+23 = 16 = 4 x 4.

9 = 3² = 1 + 3 + 5

*       Nombre n à la puissance n-1.

*       Le carré de n est la somme des n premiers impairs.

*       Cube = Somme de nombres impairs consécutifs. Propriété générale des cubes.

9 =  5  + 4

   =  5² – 4²

*       Motif valable pour tout nombre impair.

9 = 5² – 4² =  3² =  3² x 1²

*       Nombre complètement carré.

29² = (30 – 1)² = 900 – 60 + 1 = 841

(exemple)

*       Calcul mental des carrés en …9 >>>

*       Calcul mental des carrés en 9… >>>

9 = n²

*       Un carré n'est jamais terminé par plus d'un seul 9.

9 = 3²

   = 3² = 23 + 1

 

   =  13 + 23

   = (1 + 2)²

*       Nombre carré (3e).

*       Seul carré somme de deux cubes consécutifs.

Voir Carré et somme de cubes

Voir Carré d'un nombre triangulaire égal somme de cubes

*       Somme de cubes de nombres successifs.

9 = 3² = 5² – 4²

= 3²

*       Différence des carrés de deux nombres consécutifs: 4 et 5 dont la somme est égale au nombre: 9.
Propriété générale des nombres impairs.

*       Triplet de Pythagore.

9 = 1² + 2 x 2²

   = 13 + 1 x 23

   = 22 + 5 x 12

*       Autour des triplets de Pythagore.
Carrés et autres puissances.

9 = 10 – 1² – 0²

   = 11 – 1² – 1²

   = 34 – 3² – 4²

   = 74 – 7² – 4²

   = 90 – 9² – 0²

   = 91 – 9² – 1²

*       Ce motif existe 6 fois avec 9.

C'est le record.

Voir Curiosité

 

8 = 23  & 9 = 32

9 = 3² = 23 – 1

*       Propriété générale des carrés.

*       8 et 9 sont les seules puissances consécutives. Conjecture de Catalan 

9 = (0)3 + 13 + 23

   = 2173 + (–52)3 + (–216)3

   = 20973 + 113053 + (–11329)3
   = …

*       Partition du nombre 9 en sommes de cubes.

9 = 13 + 23 = 3 x 3

*       Somme de puissance de nombres consécutifs divisible par le nombre suivant. Propriété générale.

*       Somme de deux cubes de nombres successifs: n3 + (n+1)3. Elle est toujours divisible par (2n+1).

*       Une des solutions de x3 + y3 = 9, avec un nombre négatif.

9 =     52   42 =   25 –   16

   =     62   33 =   36 –   27

   =   152   63 = 225 – 216

   = 2532 – 403 = 64 009 – 64 000

*       Différences de deux puissances.
Notez 25 et 16 dans deux cas.

92k    = ... 1

92k+1 = ... 9

*       9 élevé à une puissance paire donne 1 pour unité.

*       9 élevé à une puissance impaire donne 9 pour unité.

Nombre en puissances

Voir Puissance / Racine

 

92 = 81 et 8 + 1 = 9

83 = 512 et 5 + 1 + 2 = 8

74 = 2401 et 2 + 4 + 0 +1 = 7

*      Nombre de Kaprekar.

*      Aussi, nombre égal à la somme des chiffres du carré. Cas unique.

*      Pépite en l'associant à 8 et 7.

      7² = 2² + 3² + 6² = 49

= 1² + 4² + 8² = (8 + 1)² = 81

     11² = 2² + 6² + 9² = 121

*      Somme de trois carrés distincts.

Le plus petit avec 7² et le suivant avec 11.
Notez que 10² = 6² + 8²

= 81 => 8 + 1 = 9 = 3²

10² = 100 (1); 11² = 121 (4);

12² = 144 (9); 13² = 169 (16);

14² = 196 (16); 15² = 225 (9)

*      Nombre dont la somme des chiffres du carré est un carré.

Premier tel nombre d'une suite de sept.

*      Carré concaténation de deux cubes.

92 – 1 =     80

93 – 1 =  728 = 8 x 91

*      Toutes les puissances paires de 9,
moins 1, sont divisibles par 80. Sinon (impair): divisible par 8.

*      Tous les chiffres, sauf 8.

Voir Nombre de Lewis Carroll

93 = 729

      = 8 x 9 x 10 + 9

       =  720         + 9 = 729

*      Un cube est égal au produit du nombre par ses deux voisins plus le nombre >>>

93 = 13 + 63 + 83
    = 13 + 33 + 43 + 53 + 83

    = 23 + 23 + 33 + 73 + 73

*      Cube somme de trois cubes distincts.

Les trois seules pour jusqu'à cinq cubes dont
deux avec cubes distincts.

9 cubes pour 23 et 239

*      Théorème de Waring:

Tout nombre est la somme d'au plus neuf cubes. En fait, tous sont somme de huit cubes sauf 23 et 239.

94 = 93 + 183

*      Bicarré somme de deux cubes.

94 = 24 + 44 + 64 + 64 + 64 + 74

= 16 + 256 + 3x1296 + 2401 = 6 561

*      Plus petite solution de ce genre.

9, 81,
729, 6 561,
59 049, 531 441,
4 782 969, 43 046 721,
387 420 489, 3 486 784 401

*      Les dix premières puissances de 9.

L'unité est 1 pour les puissances paires et 9 pour les impaires.

92  = 81

94  = 6561

96  = 531 441

      88  = 16 777 216

910 = 3 486 784 401

*      Aucun chiffre en commun dans le nombre et ces puissances.

…u9 = … u

*      La puissance 9e d'un nombre quelconque se termine par le même chiffre des unités que le nombre lui-même. 

9 9^9 = 9 387 420 489

*      369 millions de chiffres !!!

29 + 9  = 521

*      Élément d'un motif général.

Autour du nombre

0, 1, 2 … 9

*       Le plus grand chiffre du système décimal.

910 = 1003

*       9 = 100 en base 3.

1 ou 9

*       Unité du carré de tout nombre premier supérieur à 5.

9 = Sc{6!, 7!,  8! }

*       Somme des chiffres de ces trois factorielles successives.

9 = !4

   = 4! * (1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!)

*       Sous-factorielle 4.

… 999 999 …

*       762e à 767e décimales de Pi.

(9 x 123 456 789) – 123 456 789

= 987 654 321 – 9

*       Motif pannumérique
(avec les neuf chiffres).

12 345 678 x 9 + 9

                    = 111 111 111

*       Chaîne de formation de repunits.

 

Jeux – Curiosités

456123 – 123456 = 530865

     = 9 x 58985 (exemple)

*       Un nombre et son retourné: leur différence est divisible par 9.

voir Devinette de la date de naissance

72 – 27 = 45 => 54 – 45 = 9 (exemple)

*       Impasse de Kaprekar.

9 = 3² = 65 – 56  et 65 + 56 = 11²

*       Curiosité avec 56 et son retourné.

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 9876

*       Motif itératif.

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

*       Motif itératif.

9 x 987654321 =   8 888 888 889

18 x 987654321 = 17 777 777 778

27 x 987654321 = 26 666 666 667

*       Motif itératif pannumérique.

9 x   1089 =   9801

9 x 10089 = 90801

9 x 10449 = 94041

*   Produits qui conservent les chiffres.

*   Trois seules divisions pannumériques avec quotient égal à 9.

90 + 91 + 92 + … + 9k = …u ?

90 + 91  = 1 + 9 = 10 = …0

90 + 91 + 92 = 10 + 81 = …1

90 + 91 + 92 + 93 = …1 + …9 = …0

Les cinq premières sommes:

[1, 10], [2, 91], [3, 820], [4, 7381], [5, 66430]

*       Unité de cette somme?

L'unité des puissances de 9 est 1 pour les puissances paires et 9 pour les impaires.

L'unité de la somme vaut:

u = 1 si k est impair, et

u = 0 si k est pair.

La somme est un nombre triangulaire.

Voir Brève 41

9 = 1! + 2! + 3!
9 = 3! + 3

*       Somme de  Factorielles.

*       Faire 9 avec k chiffres identiques.

  9 x 2 =  18   & 1 +   8  =  9

99 x 2 = 198  & 1 + 98 = 99

*       Motif itératif avec les repdigit en 9.

9 = 97524 / 10836  = 95823 / 10647
   = 95742 / 10638   = 75249 / 08361
   = 58239 / 06471   = 57429 / 06381

*       Motif pannumérique
(avec les dix chiffres).

9 x 16 583 742 = 149 253 678

9 x 26 x 531 487 = 627 x 198 354

         = 124 367 958

*       Pannumériques de chaque côté du signe égal.

9 = 4 / 0,444….

*       Bien utile pour le jeu du quatre-quatre et résoudre le cas de 73.

 

Décimales

Voir page dédiée >>>

 

 

 

 

Suite

*    Voir le menu en haut de page

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*    Division par 9 – Calcul mental, méthode pratique

Voir

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