NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Maths en se divertissant

 

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BRÈVES de MATHS

 

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Atlas des maths

 

Page 13 (240-259)

Page 14 (260-279)

Page 15 (280-299)

Page 16 (300-319)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 15

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

Sommaire: TOUR d'HORIZON des MATHS

 

>>> Nomenclature des maths

>>> Notions fondamentales en maths

>>> Outils des maths

>>> Théorèmes les plus importants

>>> Conjectures – Les plus importantes

>>> Identités majeures en maths

>>> Problèmes non résolus

>>> Constantes mathématiques

>>> Algorithmes – Les plus importants

>>> Types de démonstrations

>>> Fonctions logiques

 

>>> Découvertes récentes en Maths

>>> Découvertes récentes en sciences

>>> Grands jalons de l'informatique

>>> Grands jalons de l'IA

 

>>> Équations majeures en sciences

>>> Constantes en sciences

>>> Nombres de l'Univers

 

>>> Problèmes mathématiques résolus

>>> Problèmes mathématiques non-résolus

 

 

 

280.            Découvertes récentes en Maths

 

>>> 1975 – Fractales – Publication de Benoît Maldelbrot – B44

>>> 1977 – Théorème des quatre couleurs – B138

>>> 1978 – Cryptographie à clé publique (RSA)

>>> 1994 – Algorithme quantique de Shor pour la factorisation des entiers

>>> 1995 – Le grand théorème de Fermat (Fermat-Wiles) – B63

>>> 1995 – Formule permettant de calculer la énième décimale de Pi en binaire

>>> 1998 – Conjecture de Kepler résolue: empilement des sphères

>>> 1999 – Conjecture de Taniyama–Shimura complètement démontrée

>>> 2002 – Conjecture de Poincaré résolue (complétée en 2014)

>>> 2002 – Conjecture de Catalan résolue

>>> 2016 – Pi est connu avec 22 400 milliards de décimales

>>> 2016 – Le plus grand nombre premier avec 24 862 048 chiffres.

Pour en savoir plus

>>> Chronologie des mathématiques

>>> Chronologie des découvertes

>>> Les 22 problèmes de Hilbert

>>> Les 7 problèmes de la fondation Clay

Site Wikipedia: Timeline of mathematics

 

 

281.            Découvertes récentes en sciences

 

>>> 1977 – Premier génome séquencé

>>> 1982 – Mise en évidence de l'intrication quantique

>>> 1983 – Mise en évidence des bosons W et Z

>>> 1983 – Virus du sida identifié

>>> 1985 – Découverte des fullerènes(C60)

>>> 1987 – Supraconductivité à haute température (77 kelvins)

>>> 1990 – IRM fonctionnelle (Imagerie par Résonance magnétique)

>>> 1993 – Développement du Web

>>> 1995 – Première détection d'exoplanète

>>> 1998 – Les neutrinos ont une masse

>>> 2002 – Les racines de l'homme remontent à 7 millions d'années (Toumaï)

>>> 2004 – Graphène en une seule couche atomique

>>> 2006 – Importance du microbiote

>>> 2012 – Mise en évidence du boson de Higgs

>>> 2012 – Invention des ciseaux pour travail sur le génome (CRISPR-CA69)

>>> 2015 – Première détection d'une onde gravitationnelle

>>> 2017 – Principe d'équivalence des masses avec précision de 10-15

 

Pour en savoir plus

>>> Chronologie des découvertes

>>> Histoire de la physique quantique

>>> Histoire de la gravitation

>>> Histoire – Index

 

 

282.            Grands jalons de l'informatique

 

>>> 1937 – Machine de Turing

>>> 1944 – Von Neumann et Turing: conception des ordinateurs

>>> 1946 – ENIAC, le premier ordinateur

>>> 1948 – Clause Shannon – Théorie de l'information

>>> 1950 – Norbert Wiener – Cybernétique

>>> 1952 – Langage COBOL, concept de langage évolué et de compilateur

>>> 1961 – Premières liaisons entre ordinateurs

>>> 1964 – Langage BASIC

>>> 1971 – Premiers microprocesseurs

>>> 1973 – Premiers microordinateurs (PC)

>>> 1973 – Ethernet relient les ordinateurs

>>> 1975 – Bill Gates fonde Microsoft

>>> 1989 – Le World Wide Web

>>> 1993 – Premier moteur de recherche (Archie)

>>> 1997 – Un ordinateur bat le champion du monde des échecs

>>> 2017 – Un ordinateur bat le champion du monde du jeu de GO

>>> 2018 – Explosion des applications en intelligence artificielle (apprentissage profond – Deep learning).

 

Pour en savoir plus

>>> Histoire des ordinateurs

>>> Histoire de l'informatique

>>> Histoire de l'électronique

 

 

283.            Grands jalons de l'IA

 

>>> 1666 – Leibniz travaille sur la déduction logique des grandes idées à partir d'idées plus simples.

>>> 1929 – Premier robot au Japon

>>> 1940 – Les automates de Wiener

>>> 1949 – Explication du phénomène d'apprentissage

>>> 1957 – Rosenblatt invente le Perception ancêtre des réseaux de neurones

>>> 1958 – Langage LISP, le langage le plus populaire de l'IA

>>> 1997 – Deep Blue bat le champion du monde des échecs

>>> 2012 – Fondation de Google Brain

>>> 2017 – Un programme autodidacte à apprentissage profond, champion de GO

>>> 2018 – Développement spectaculaire de l'IA à apprentissage

 

Pour en savoir plus

>>> Histoire de l'IA

>>> Histoire des robots

 

 

 

284.            Identités majeures en maths

 

>>> Identités remarquables – B81

>>> Identités remarquables de degré >2

>>> Identités de Diophante, Brahmagupta, Lagrange, etc.

>>> Formules de trigonométrie

>>> Formules des nombres complexes

>>> Identité d'Euler / Riemann

>>> Somme des entiers de toute nature – B21

>>> Caractéristique d'Euler

>>> Relations dans le triangle quelconque

>>> Calcul des aires

>>> Formule de Héron

>>> Primitives

>>> Dérivées

 

Pour en savoir plus

>>> Identités et égalités – Index

>>> Vocabulaire des maths

 

 

 

285.            Équations majeures en sciences

 

>>> Gravitation universelle

>>> Lois de Kepler

>>> Lois de Newton

>>> Loi d'Ohm

>>> Lois de Maxwell

 

 

>>> Lois de la thermodynamique

>>> Relativité: E = mc²

>>> Équation de Schrödinger

>>> Équation de Drake

 

 

Pour en savoir plus

>>> Gravitation – Index

>>> Les 17 équations de Stewart

 

 

286.            Constantes mathématiques

 

>>> Nombre 0

>>> Nombre 1

>>> Nombre i² = – 1

>>> Nombre   = 1, 4142 …

>>> Nombre   = 1, 7320 …

 

>>> Constante  = 3, 1416…

>>> Constante e = 2,718281…

>>> Constante = 1,618… (or)

>>> Constante d'Euler  = 0,577…

>>> Constante de la lemniscate: 1,311…

>>> Nombre d'argent: 3,246…

 

Pour en savoir plus

>>> Nombres remarquables et constantes

 

 

287.            Constantes en sciences

 

>>> Constante gravitationnelle

>>> Vitesse de la lumière

>>> Zéro absolu

>>> Masse de l'électron

 

>>> Constante de Planck

>>> Constante de structure fine

>>> Constante de Wien

Pour en savoir plus

>>> Constantes physiques

>>> Unités

 

 

288.            Nombres de l'Univers

 

>>> Âge de l'Univers

>>> Dimensions de l'Univers

>>> Vitesses galactiques

>>> Plus de 3 000 exoplanètes (2017)

 

>>> Ères géologiques

>>> Diamètre du Soleil

>>> Planètes et satellites

>>> Terre en chiffres

Pour en savoir plus

>>> Univers

>>> Cosmologie / Astronomie – Index

 

 

289.            Notions fondamentales en maths

 

>>> Nombres

>>> Numération

>>> Facteurs, diviseurs

>>> TF de l'arithmétique

>>> Équations

>>> Puissances et racines

>>> TF de L'algèbre

>>> Calcul différentiel et intégral

>>> Logarithmes

>>> Trigonométrie

 

 

>>> Vecteurs, matrices

>>> Logique

>>> Ensembles

>>> Dénombrement

>>> Probabilités et statistiques

>>> Théorèmes: Thalès et Pythagore

>>> Symétries

>>> Transformations

>>> Invariant

 

* TF: Théorème fondamental

Pour en savoir plus

>>> Vocabulaire des maths

>>> Jargon des mathématiques

>>> SOS débutants – Index

>>> Atlas des maths – Index

 

 

290.            Outils des maths

>>> Règle de trois

>>> Preuve par neuf

>>> Axiomatique

>>> Algorithmes

>>> Programmation

>>> Outils informatiques

>>> Moyennes

>>> Logique

>>> Démonstrations

>>> Notations et symboles

>>> Groupes

>>> Tiers exclu

>>> Syllogismes

>>> Principe des tiroirs

>>> Transformée de Fourier

Pour en savoir plus

>>> Outils mathématiques

 

 

291.            Nomenclature des maths

 

Grands domaines

*    Mathématiques appliquées

*    Mathématiques pures

*    Mathématiques discrètes

*    Mathématiques informatiques

 

*    Mathématiques récréatives

*    Mathématiques et art

*    Mathématiques et musique

 

Sous-domaines

*      Algèbre

*      Algorithmique

*      Analyse

*      Analyse numérique

*      Arithmétique

*      Calcul infinitésimal

*      Combinatoire

*      Complexité

*      Géométrie

 

*      Géométrie différentielle

*      Géométrie discrète

*      Informatique

*      Logique

*      Mécanique

*      Optimisation

*      Probabilités et statistiques

*      Recherche opérationnelle

*      Théorie de la décision

*      Théorie de l'ordre

*      Théorie des ensembles

*      Théorie des graphes

*      Théorie des jeux

*      Théorie des nombres

*      Théorie des systèmes dynamique

*      Théorie du chaos

*      Théorie du contrôle

*      Topologie

*      Trigonométrie

Pour en savoir plus

>>> Définitions des domaines mathématiques

>>> Classification décimale universelle

>>> Jeux et énigmes

 

 

292.            Algorithmes – Les plus importants

 

*    Algorithmes Babyloniens

*    Algorithme d'Euclide

*    Crible d'Ératosthène

*    Algèbre de Boole

*    Programmation avec Ada Lovelace

*    Transformée de Fourier rapide

*    Algorithme de classement de Google

*    Méthode Monte Carlo

 

 

*    Algorithme de SIMPLEX

*    Résolution des espaces de Krylov

*    Filtre de Kalman

*    Algorithme QR

*    Compilateur Fortran optimisé

*    Algorithme de tri QUICKSORT

*    Algorithmes de compression

Pour en savoir plus

>>> Algorithmes

>>> Les 15 algorithmes les plus importants de l'histoire

 

 

 

293.            Théorèmes – Les plus importants

 

>>> Théorème de Pythagore – B49

>>> Théorème de Thalès

>>>  Petit théorème de Fermat

>>> Th. de Ferma-Wiles

>>>  Infinité de nombres premiers

>>> Th. fondamental de l'arithmétique

>>> Th. fondamental de l'algèbre

>>> Th des nombres premiers

 

 

>>> Théorème des quatre couleurs

>>> Th. de Bertand (Nombres premiers)

>>> Th. de Waring (sommes de puissances)

>>> Th. de Wilson (factorielle)

>>> Th de Lagrange (somme de quatre carrés)

>>> Th. d'incomplétude de Gödel

 

Pour en savoir plus

>>> Théorèmes, Axiomes …

 

 

294.            Conjectures – Les plus importantes

 

Résolues

*    C. de Kepler (empilement des sphères)

*    C. de Catalan (nombres consécutifs)

*    C. de Langlands (unification)

*    C. de Poincaré (sphère topologique)

*    C. de Cantor (hypothèse du continu)

 

Non résolues

*    C. ABC (facteurs A+B  = C)

*    C. de Goldbach (somme de premiers)

*    C. de Polignac (infinité de premiers jumeaux)

*    C. de Riemann (nombres premiers)

Pour en savoir plus

>>> Conjectures

 

 

295.            Problèmes non résolus

 

Les sept problèmes du millénaire

*    L'hypothèse de Riemann,

*    La conjecture de Poincaré (résolue)

*    Le problème P=NP de la théorie de la complexité des algorithmes.

*    La conjecture de Hodge (1903-1975) en géométrie algébrique.

*    La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer en théorie des nombres.

*    L'étude des équations de Navier-Stokes de la mécanique des fluides.

*    L'étude des équations de Yang (né en 1922) et Mills (1927-1999) de la physique des particules.

 

 

Les vingt-trois problèmes de Hilbert

*    Peut-on prouver l'hypothèse du continu de Cantor ?

*    Peut-on considérer l'ensemble du continu comme un ensemble bien ordonné?

*    Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ?

*    La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle applicable à tous les volumes ?

*    Existe-t-il un algorithme universel pour la résolution des équations diophantiennes.

*    Etc.

Pour en savoir plus

>>> Crises du monde mathématique

>>> Les vingt-trois problèmes de Hilbert

 

 

296.            Types de démonstrations

 

*      Démonstration triviale

*      Démonstration selon définition

*      Démonstration (calcul) par fausse position

*      Démonstration par équivalence logique

*      Démonstration par instanciation

*      Démonstration directe

*      Démonstration indirecte

*      Démonstration par  l'exemple

*      Démonstration par  en distinguant des cas
 

*      Démonstration par  contraposée

*      Démonstration par l'absurde ou par contradiction

*      Démonstration par récurrence ou induction

*      Démonstration par exhaustion

*      Démonstration par descente infinie

*      Conjecture

*      Démonstration par ordinateur ou preuve par informatique

Pour en savoir plus

>>> Démonstrations

 

 

297.            Fonctions logiques

 

*      Affirmation et négation

*      Implication

*      Quantificateur (il existe, pour tout ..)

*      ET, OU, OU exclusif, Équivalence

*      Algèbre de Boole

*      Logique formelle

*      Logique des propositions

 

*      Prédicats

*      Déduction

*      Syllogismes

*      Table de vérité

*      Diagramme de Venn

*      Diagramme de Karnaugh

*      Système experts

Pour en savoir plus

>>> Logique – Introduction

>>> Logique – Index

 

 

298.            Problèmes difficiles résolus

 

*      Théorème des nombres premiers
La densité de nombres premiers autour de n est environ 1 / ln (n).
Prouvé en 1898 indépendamment par Jacques Hadamard et Jean de la Vallée Poussin.

 

*      Théorème de Fermat-Wiles

Aucune possibilités en nombre entiers pour xn + yn = zn pour n supérieur à 2. Démontré en 1993.

 

*      Partition avec somme de trois cubes
En 2019, la partition du nombre 42 = x3 + y3 + z3  est trouvée, mettant fin à la recherche de toutes les partitions des nombres de 1 à 100 en somme de trois cubes avec nombres relatifs.

 

*      Hypothèse du continu
Cantor a prouvé que l'ensemble des nombres réels est plus grand que celui des nombres naturels.  La question est de savoir s'il existe un autre ensemble infini entre les deux.
Kurt Gödel et Paul Cohen ont prouvé qu'on peut dire oui ou non. La réponse n'entraine aucune contradiction dans l'axiomatique qui en résulte.

 

*      Théorèmes d'incomplétude de Gödel
1) Dans toute axiomatique, il existera des affirmations qui ne pourront pas être prouvées.
2) Un système consistant ne comprend aucune contradiction. Gödel prouve qu'on ne peut pas le démontrer.

 

*      Résolution générale des équations
Les équations à partir du degré 5 n'ont pas de solution générale littérale.
Galois en 1832 énonce les conditions exactes pour que les racines de ces équations puissent être exprimées littéralement (solutions avec radicaux).
 

*      Classification des groupes finis

Travail monstrueux terminé en 1985 sous la coordination de Daniel Gorenstein et, tellement volumineux qu'il ne fut admis qu'en 1990. Travail en cours pour simplifier cette œuvre.

*      Trisection de l'angle
Pierre Wanzel en 1837 prouve l'impossibilité de la construction à la règle et au compas.
Les racines de l'équation à résoudre ne sont pas rationnelles.


*      Problème des quatre couleurs

Résolu en 1976 par Appel and Wolfgang Hakan à l'aide d'un ordinateur.

Ce théorème dit qu'il est possible, avec seulement quatre couleurs, de colorier un carte sans avoir de régions frontalières de même couleur.

 

*      Conjecture de Poincaré

Résolue en 2003 pat Grigori Perelman.

La conjecture dit, en langage plus mathématique, que la forme la plus simple en 4D est l'hypersphère  de dimension 4.

 

Pour en savoir plus

>>> Crises historiques en mathématiques

>>> Actualités des mathématiques et historique

 

 

299.            Problèmes difficiles NON-résolus

 

*      Nature de la somme de Pi et  de e

Chacun de ces deux nombres Pi et exp(1) = e est transcendant. On ne sait pas dire si la somme est algébrique ou transcendante. Idem pour le produit ou le quotient.

 

*      Nature de la constante gamma (constante d'Euler-Mascheroni)
Limite de la différence entre la série harmonique et le logarithme naturel. On croit que cette constante est irrationnelle, mais ce n'est pas démontré.

 

*      Conjecture des premiers jumeaux

Ils sont en nombre infini.

En 2019, on a montré que cette conjecture est vraie sur un corps fini (ensemble limité de nombres). On sait également que la conjecture est vraie pour des paires de premiers avec un écart de 246, ou même 6 selon certaines hypothèses.

 

*      Conjecture de Syracuse (ou de Collatz)
À partir de chaque nombre, on forme la suite f(n) telle qu'elle vaut n/2 si n est pair et 3n + 1 si n est impair. La conjecture dit que la suite se termine toujours par 1.

Malgré  de brillantes avancées dues à Terence Tao, cette conjecture résiste toujours.

*      Conjecture de Goldbach (1742)

Pair (>2)   = somme de deux premiers.

Impair = somme de trois premiers.

Les tests montrent l'évidence de ces affirmations, mais il n'existe pas encore de preuve.

 

 

*      Hypothèse de Riemann (1859)

La fonction zéta (somme des inverses des nombres à une puissance). Ses racines non triviales ont toutes une partie réelle égale à 1/2.

Résolu, cette conjecture offrirait de nombreuses propriétés sur les nombres premiers.

 

*      Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
Elle concerne les courbes elliptiques. En gros (c'est très technique): elle prédit que l'ordre d'annulation en 1 de la fonction L associée est égal au rang de la courbe.

 

*      Problème de l'infinité d'infinis (Large cardinal project)
Cantor a montré qu'il existe plusieurs infinis. On en a recensé d'autres depuis. Existe-t-il une limite. Des avancées récentes (2019) tendraient à montrer que oui, il y aurait un plafond dans les infinis.

 

*      Problème des sphères connexes (kissing number problem)

Combien de sphères de rayon r en dimension D peuvent être adjacentes à une sphère centrale de même rayon?

Résolu seulement en dimension 2, 3 et 4 et, bizarrement pour quelques autres comme 8 et 24.

 

*      Problème des nœuds

Trouver un algorithme qui reconnait un nœud non noué. Il existe bien des algorithmes, mais le problème est de savoir s'ils calculent en temps raisonnable (complexité de classe P ?).

 

Pour en savoir plus

>>> Crises historiques en mathématiques

>>> Actualités des mathématiques et historique

 

 

 

 

 

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