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NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Atlas des maths

 

Page 14 (260-279)

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Page 16 (300-319)

Page 17 (320-339)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 16

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

300.            Numérique et analogique

 

Signal analogique ou numérique

La mesure de la vitesse de la voiture est un signal qui varie de manière continue en fonction du temps. C'est un signal analogique.

L'enregistrement de l'ouverture du frigo est un signal discontinu que l'on représenter par des 0 (fermé) et des 1 (ouvert).  C'est un signal numérique: une suite de 0 et de 1, en fait, des nombres binaires

 

Conversion analogique-numérique

Comment convertir un signal analogique en numérique ?

*      Le temps est partagé en tranches de temps;

*      Pour chaque début de tranche, le niveau du signal (amplitude en volts par exemple) est enregistré;

*      Les nombres-amplitude sont transformés en nombres exprimés en binaire.

 

Note: En français on dit numérique  (Anglais: digital). Digital est relatif aux doigts.

 

Signal analogique                   Signal numérique

      

 

Signal numérique (rouge)
traduction du signal analogique (bleu)

Pour en savoir plus

>>> Numérique & analogique

 

 

301.            Système binaire

 

Système décimal

Notre système de numération est un système de position à base 10.

Chaque chiffre de 0 à 9 "pèse" dix fois plus que celui à sa droite.

 

Système binaire

C'est un système de numération de position à base 2. Chacun des deux chiffres (0 et 1) "pèse" deux fois plus que celui à sa droite.

 

Compter en binaire à l'aide d'un tableur

Brèves associées

>>> Nombres 0 et 1 – Binaire

Pour en savoir plus

>>> Système binaire

>>> Système décimal

 

 

 

302.            Binaire et ordinateurs

 

Circuits logiques

Le binaire est le langage des ordinateurs

*      dans un circuit le courant est présent ou absent;

*      une cellule de mémoire est activée ou au repos.

  

Les opérations sont des opérations logiques dont les deux principales sont le "ET" et le "OU"

Avec le ET, la sortie est à 1 si les entrées sont à 1.

 

Avec le OU, la sortie est à 1 dès que l'une entrées est à 1.

 

 

Addition de A et B

La table d'addition en binaire montre que la somme est un OU exclusif et que la retenue est un simple ET.

Avec le OU exclusif, la sortie est à 1 si une seule des entrées est à 1.

Pour en savoir plus

>>> Portes logiques

>>> Additionneur logique

 

 

303.            Automate (Ascenseur)

 

Un immeuble comportant trois niveaux est muni d'un ascenseur dont il faut réaliser le circuit logique de commande. L'image montre les commandes: appel depuis un étage  ou consigne depuis la cabine d'ascenseur.

On dispose également de trois signaux qui indiquent l'étage où se trouve la cabine.

 

Deux signaux de sortie: celui qui commande la montée de l'ascenseur et celui qui commande la descente.

Pour en savoir plus

>>> Logique de l'ascenseur – Explication détaillées des circuits

 

 

304.            Automate et ordinateurs

 

Automate

Système cadencé par une horloge tel que les sorties sont renouvelées à chaque coup de l'horloge. Ceux-ci pouvant intervenir des milliards de fois par seconde (typiquement 3 GHz).

L'état de sortie est  calculé selon l'état des paramètres d'entrée (logique 1) et selon l'état interne du système (logique 2)

Les logiques 1 et 2 remplissent des fonctions logiques simple sou très complexes, mais toujours sur le principe vu au paragraphe précédent.

 

Ordinateur et son unité de calcul

Le cœur de l'ordinateur est un automate logique qui bat au rythme de l'horloge sous l'œil d'une unité de contrôle.

C'est l'unité logique. Elle est accompagnée d'un additionneur qui fonctionne selon le principe vu ci-dessus.

Les registres sont des mini-mémoires: faible capacité mais extrêmement rapides d'accès.

Le principal enjeu pour un concepteur sera de coder l'unité logique: nombres de bits de travail, combine de bits pour représenter les données et codage pertinent des instructions sur un minimum de bits.

 

Microprocesseur

Depuis 1971, tous ces éléments sont implémentés dans un seul petit boitier électronique, nommé microprocesseur.

 

Pour en savoir plus

>>> Automate

>>> Ordinateur

 

 

 

305.            Nomenclatures de l'ordinateur

 

L'unité centrale est le boitier principal de l'ordinateur.

Elle est articulée autour de la carte mère sur laquelle est placé le microprocesseur.

Elle contient la mémoire vive et le disque dur.

 

Le boitier sert aussi de support à la connectique vers l'extérieur, y compris: le clavier, la souris et l'écran.

 

Pour fonctionner un ordinateur est nourrit par des logiciels adaptés à un type de travail (traitement de texte, diffusion de vidéo …). Ce sont les logiciels d'application.

Un chef d'orchestre régule le travail des différentes applications: un peu de celle-ci, puis un peu d celle- à, … C'est le logiciel d'exploitation du système ou Operating System (OS).

Celui-ci parle à l'ordinateur via des programmes évolué écrit dans un langage de programmation (Java, Python, …).

 L'humain comprend ce langage; pas la machine ! Les couches de base traduisent la demande du programme en instructions que comprend l'unité arithmétique et logique, jusqu'au codage binaire.

 

 

 

Pour en savoir plus

>>> Ordinateur – Fonctionnement

 

 

306.            Microprocesseur

 

Un microprocesseur se présente sous la forme d'un boitier muni de nombreuses broches à sa périphérie.

Ces broches (ou pattes) sont raccordées par soudure à la carte mère.

Raccorder ces points de soudure à ceux des composants de la carte-mère est casse-tête.  Quel est le routage optimum ?

C'est le même type de problème d'optimisation que l'on retrouve dans le boitier du microprocesseur, mais en pire.

Dans les deux cas, il faut souvent mettre en place plusieurs couches de connexions.

 

Au travail, le microprocesseur procède selon trois temps:

*      aller chercher la nouvelle instruction à exécuter;

*      décoder l'instruction; et

*      exécuter les tâches demandées.

Pour en savoir plus

>>> Puces

 

 

307.            Loi de Moore

 

Ce graphe illustre l'évolution dans le temps de la quantité de transistors d'un microprocesseur.

Les droites en vert montrent une tendance avec croissance linéaire.

 

La loi e Moore, édictée à la genèse des microprocesseurs est  toujours valable aujourd'hui:

 

 

Dans les microprocesseurs, le nombre de transistors sur une puce de circuit intégré double tous les dix-huit mois.

    

Pour en savoir plus

>>> Loi de Moore

 

 

308.            Algorithmes

 

Algorithme: ensemble de règles qui définissent une séquence d’opérations. Ce sont des séries d’instructions qui indiquent à un ordinateur comment il est censé résoudre un problème ou atteindre un certain objectif.

 

Algorithme: c’est en quelque sorte une recette de cuisine: on prend certains ingrédients qu’il s’agit de mettre dans le bon ordre pour réaliser le plat souhaité.

 

L'algorithme est un procédé de calcul systématique et rapide au service de l'homme. Un outil, comme le marteau ou la calculette. L'algorithme traduit l'analyse de son concepteur , amis ne recèle aucune intelligence en propre.

 

 

Exemple

Cet algorithme permet de déterminer si une année est bissextile ou non

 

 

Pour en savoir plus

>>> Algorithmes

>>> Années bissextiles

 

 

309.            Programmation

 

La programmation (on dit aussi: codage) traduit un algorithme en langage compréhensible par un ordinateur.

 

Avec cet exemple utilisant le langage Scratch (conçu pour enfants et débutants – Gratuit), le chat va dessiner un cercle.

En cliquant sur le drapeau vert, le programme commence à effacer l'écran et se met en situation d'écriture.

En suite, il va répéter 24 fois toutes les opérations incluses dans le crochet.

Le chat avance de 20 pas et tourne de 15 °. Toutes ces actions dessinent un polygone de 24 côtés avec un angle de 360 – 15 = 165°

Son travail fini, le chat lance un joyeux "miaou".

 

Pour en savoir plus

>>> Programmation

 >>> Programmes Scratch

 

 

 

310.            Types de langages

 

Langages de bas niveau: langage proche de la machine et dont l'emploi nécessite une grande connaissance du fonctionnement de l'ordinateur. Un travail à ce niveau permet de gagner en durée d'exécution des programmes.

 

Langages de haut niveau: il y est fait une complète abstraction des contingences matérielles. Un compilateur ou un interpréteur convertit les ordres en langage de bas niveau.

 

Langages utilisés sur ce site: Scratch, Python, Maple et Maxima

 

 

Langage compilé: le programme est rédigé indépendamment de la machine. Un fois terminé, il est lu et trait par un compilateur, un traducteur en langage compréhensible par l'ordinateur. Les erreurs éventuelles de syntaxe ou de logique ne seront détectées qu'après l'exercice de compilation.

 

Langage interprété: cette fois le programme en cours d'écrire est interprété au fur et à mesure, comme un interprète français-anglais. La syntaxe est vérifiée et les fautes signalées immédiatement avant lancement de l'exécution du programme.

 

Pour en savoir plus

>>> Types de langages

>>> Programmation – Index

 

 

 

311.            Compression de données

 

Procédés

La compression de données est une technique qui permet de réduire le volume des données décrivant un objet: texte, son, images, vidéo.

Le programme de compression exploite:

*      la redondance des informations (technique non-destructrice, sans perte d'informations)

*      ou la limite de perception de nos sens (technique destructrice, avec perte d'informations).

 

Exemple du codage des sons en mp3

On y exploite les propriétés de l'oreille humaine.

Les fréquences supérieures à 15 kHz sont supprimées car non perçues ou nécessitant une puissance sonore importante pour être audibles.

Les sons faibles masqués par des sons de fort niveau sont également éliminés, de toute manière l'oreille ne les entend pas.

Une technique plus avancée (code de Huffman) consiste à privilégier les sons les plus fréquents en leur affectant des codes courts (peu de bits pour les représenter).

 

Redondance statistique des données

Le codage de cette ligne est: 11000001

Répéter les cinq 0 prend sans doute plus de place que de dire: il y a cinq zéros

Le codage consiste à indiquer la taille des plages de couleurs plutôt que la nature de la couleur pour chaque point.

 

Limite de perception (redondance psycho-visuelle)

Le portrait de droite a été comprimé

 

 

 

Autre technique

Une technique classique de compression 2D ou 3D consiste à approximer l'objet par une forme connue dont il suffira de préciser seulement les coefficients.

Une autre technique connu est cette des ondelettes: elles ont la forme d'une vague, ou d'une onde d'où leur nom. Les grosses ondelettes vont permettre de construire une version grossière de l'image et les petites ondelettes vont apporter des détails plus fins (multirésolution).

 

    

Pour en savoir plus

>>> Compression de données

 

 

312.            Intelligence artificielle (IA)

 

IA et informatique

L'informatique traite les données (informations numériques).

L'intelligence artificielle traite les connaissances (informations symboliques).

 

Les trois niveaux

 

 

IA faible ou descendante: imitation fidèle d'un comportement observé et qui est reproduit à l'identique à l'aide d'un programme informatique. Il est très performant dans son domaine mais reste confiné dans celui-ci, sans possibilité d’évoluer.

 

 

 

IA forte ou ascendante: cette fois le comportement humain est mimé par suite d'apprentissage et accumulation de connaissances de plus en plus complexes. La machine est dotée d'une sorte de conscience d'elle-même. Les algorithmes évoluent et échappent progressivement au cadre fixé au départ par leurs auteurs.

 

Pour en savoir plus

>>> Intelligence artificielle

 

 

 

313.            Apprentissage profond

 

Réseaux de neurones

Système qui imite les neurones vivants. À force d'apprentissage, le système s'imprègne des conclusions à donner face à une situation nouvelle.

 

Après avoir connu une période de doute (années 1990), les réseaux de neurones sont de nouveaux très utilisés du fait de considérable puissance de calcul désormais disponible.

 

Le terme "deep learning or machine learning – apprentissage profond" date de 1959. Il est dû à Arthur Samuel, un informaticien d'IBM. Il s'applique aux ordinateurs capables d'apprendre sans être directement programmés.

Exemple à deux couches

 L'état des sorties dépend de l'état des entrées et des coefficients de pondérations au niveau des couches (ronds orange)

Image result for neural network

Durant l'apprentissage les sorties sont imposées et le réseau réagit en pondérant les couches internes de sorte que les entrées produisent effectivement les sorties désirées.

Pour en savoir plus

>>> Réseaux de neurone et Apprentissage profond

 

 

 

314.            BIG DATA

 

Big Data

Le déluge actuel des données oblige à rechercher des méthodes pour extraire, analyser, trier, stocker, présenter les données

Le Big Data est un concept permettant de stocker un nombre faramineux d’informations sur une base numérique. Il s'agit alors d'être capable d'accéder en temps réel à ces bases de données géantes.

 

Cloud (nuage)

Espace de stockage mis à disposions par un fournisseur d'accès à Internet. Espace accessible à tout moment par l'utilisateur.

 

 

Règle des 3V

Le Big Data doit répondre à la triple problématique:

*      Volumes de données importants;

*      Variétés de d'informations selon la source, leur codage, leur structuration …

*      Vélocité pour entrer, manipuler, extraire et restituer les données.

 

Règle des 5V

Sont ajoutés:

*      Veracity ou fiabilité crédibilité des informations collectées; et

*      Valeur ou profit commercial produit par l'exploitation du Big Data

Pour en savoir plus

>>> Intelligence artificielle

 

 

 

315.            Cryptographie

 

 

Pour en savoir plus

>>> Cryptographie

 

 

 

 

316.            BLOCK CHAIN

 

Blockchain: technologie de sécurisation des transactions, transparente, sécurisée, et fonctionnant sans organe central de contrôle.

Si puissante qu'elle permet de construire des monnaies sans banque centrale, dont le bitcoin.

Une blockchain contient également tout l'historique des échanges effectués par les utilisateurs.

Cette base de données est sécurisée et distribuée. Chacun peut vérifier la validité de la chaine.

 

Pour en savoir plus

>>> Blockchain

 

 

 

317.            Puissance de calcul

 

 

Pour en savoir plus

>>> Limite théorique de la puissance de calcul

 

 

 

 

318.            Ordinateur quantique

 

Analogie

 

Vous marquer une croix sur un livre dans une grande bibliothèque. L'ordinateur doit la retrouver.

L'ordinateur classique ouvre les livres un par une, lit les pages une par une jusqu'à retrouver la page.

L'ordinateur quantique ouvre tous les livres à la fois et repère immédiatement la croix. Cet ordinateur est massivement parallèle. Il est des millions de fois plus rapide que les ordinateurs d'aujourd'hui.

 

Intérêt

 

Faisable ? Quand ? Cette technologie fait miroiter un décuplement de la puissance calcul des ordinateurs.

En 2016, la technologie est encore balbutiante, mais son développement pourrait donner un coup de booste à la loi de Moore et surtout faire craindre la possibilité de déchiffrer les communications. En effet, les algorithmes actuels comptent sur la limitation de la puissance calcul.

Brèves associées

>>> Loi de Moore

Pour en savoir plus

>>> Ordinateur quantique

>>> Physique quantique

 

 

 

319.            BILAN

 

 

Pour en savoir plus

 

 

 

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