NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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BRÈVES de MATHS – Page 17

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

320.            Constantes aux milliards de décimales

 

La course aux décimales est un exercice que les adeptes entreprennent non pas pour les décimales en elles-mêmes, mais pour le double défi : opérations sur de très grands nombres et algorithmique accélératrice de vitesse.

Tableau des connaissances au 01/01/2019

La constante Pi est actuellement connue avec 22 500 milliards de décimales.

Un "microfilm" de 1 cm de large avec une densité de 1000 chiffres par mm, il aurait une longueur de 2,25 km de long

 

Pour en savoir plus

>>> Liste des principales constantes et explications

Mise à jour sur le

Site d'Alexander Yee

 

 

321.            Centre du cercle

Centre du cercle

 

*      Un point M quelconque sur le cercle; deux droites MN et MP, issues de ce point.

 

*      Leurs médiatrices (RO et QO) se coupent en O.

 

*      Le point O est le centre du cercle bleu.

 

 

Centre du cercle avec une règle

 

*      La règle à bords parallèles coupe la circonférence en quatre points.

*      Deux paires de droites reliant ces quatre points (verte et bleue).

*      Elles se coupent en deux points et, la droite (rouge) qui les réunit passe par le centre du cercle.

*      L'opération est renouvelée pour obtenir une seconde droite. L'intersection avec la première est le centre du cercle.

 

Brèves associées

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>>> Rayon du cercle avec cordes

>>> Couronne

Pour en savoir plus

>>>  Construction de la médiatrice et autres constructions usuelles

>>>  Constructibilité

 

 

322.            Tout triangle est isocèle (?)

 

Exemple de démonstration erronée et qui montre qu'il faut parfois travailler sur une figure la plus exacte possible.

 

Construction

Triangle quelconque ABC. Bissectrice en A. Médiatrice de BC. Point d'intersection G. Perpendiculaires aux côtés depuis G.

 

Démonstration

Bissectrice => GE = GF => trg AGE = trg AGF => AE = AF

Médiatrice = >GB = GC => trg BGE = trg CGF => EB = FC

En additionnant les deux égalités:

      AE + EF = AB = AF + FC = AC

Les deux côtes AB et AC du triangle quelconque ABC sont égaux, le triangle est isocèle.

Où se trouve l'erreur ?

 

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>>> Sangakus

Pour en savoir plus

>>> Tout triangle est isocèle – Solution

>>> Triangle isocèle

 

 

 

323.            Magie avec des verres

 

Le tour de magie commence par une présentation de la procédure:

*      trois verres dont un retourné.

*      chaque mouvement consiste à retourner deux verres à la fois (points rouges).

*      en trois mouvements, les trois verres sont tous retournés (images ci-contre).

 

On propose au spectateur de refaire la manipulation avec, à la clé, une récompense.

On lui présente les verres comme indiqué à droite avec l'objectif de les mettre tous à l'envers.

Le malheureux n'y parviendra jamais. Il perdra à tout coup.

 

Ce tour a été proposé par Ian Stewart. Notez que dans la démonstration, il suffisait de retourner les deux verres extrêmes pour les mettre tous à l'envers. Avec la proposition de droite, le même mouvement remettrait  tous les verres debout. Mais, on les veut tous à l'envers.

 

Ce tour peut se faire avec des pièces de monnaies (proposé par Martin Gardner).

 

 

À gauche, on commence par 1 verre retourné pour arriver à 3 verres retournés. Chaque mouvement de deux verres conserve la parité.

 

En haut, la parité de départ est 2 (deux verres renversés). Tout mouvement conservera cette parité.

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Pour en savoir plus

>>> Magie – Index

Plus sur le site: Cups and Downs

 

 

324.            Le compte est bon

Comme au jeu télévisé, on donne un nombre à atteindre avec une suite de nombres donnés en utilisant seulement les quatre opérations (encadré jaune).

 

Faire 230 avec (25, 10, 7, 5, 1)

 

 

On peut observer que 25 + 5 = 30 et  30 – 7 = 23

La multiplication pas 10 devient évidente.

 

Faire 230 avec (25, 10, 7, 5, 1)

 

 

On peut tenter 25 x 7 = 175 et constate que le reste 55 est réalisable avec les chiffres restants.

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Pour en savoir plus

>>> Faire 100 avec les chiffres

>>> Jeux avec les nombres

>>> Les quatre opérations

Source de ces énigmes données pour juniors de 7 à 9 ans :

Défis de logique et de mathématiques – Antoine Houlou-Garcia – Larousse - 2017

 

 

325.            Octal

 

 

Octal

L'octal est un système de numération à huit chiffres: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Après 7, on compte 10 qui est alors équivalent au 8 en décimal, puis 11 équivalent à 9, etc.

 

Conversion

Chaque position de chiffres correspond implicitement à une puissance de 8.

 

Additions en octal (exemples)

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Numerati/ConOctal_fichiers/image012.jpg

 

Usage

La conversion en binaire nécessite exactement trois bits. Une bonne façon de lire les nombres binaires en groupant les bits par trois et en lisant en octal.

 

Exemple

111 000 101 001

 se lit:         7051

 

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>>> Octal

>>> Nombre 8

 

 

326.            Théorème Pythagore – Chou Pei

 

Simple observation

A = 4T + C (aire du carré bleu)

T = ½ (4 x 3) = 6 (chaque triangle rectangle bleu)

A = 4 x 6 + 1 = 25 = 5²

 

L'aire du grand carré oblique bleu est 25.

La longueur de son côté est 5.

Chaque triangle rectangle a pour dimensions: (3, 4, 5).

Ce qui vérifie le théorème de Pythagore: 3² + 4² = 5²

 

Démonstration

 

Démonstration imaginée par

Chou Pei Suan-Ching vers 1000 av. J.-C.

 

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327.            Boson et champ de Higgs

À la recherche des forces unifiées aux premiers instants de l'Univers, les physiciens remontent le temps et comprennent l'unification des forces électromagnétiques. Leur modèle induit des médiateurs de forces (ici, le photon) de masse nulle.

Pour inclure  les forces nucléaires faibles, dont les bosons sont massiques, le modèle doit être aménagé. On imagine un temps lointain où ces bosons avaient une masse nulle et ils ont développé une masse plus tard.

Pour l'expliquer, on invente un champ de type "mélasse" qui ralentit les bosons et leur confère l'illusion d'une masse. C'est le champ de Higgs et son boson médiateur associé (et son mystère quantique d'onde-corpuscule).

 

La masse des bosons passe en chaine aux quarks, aux neutrons et protons et, enfin à la matière toute entière.

En 2012, avec un immense et puissant accélérateur, les savants ont mis en évidence une discrète anomalie qui témoigne du champ de Higgs.

Oui, le boson de Higgs existe, mais il recèle encore bien des mystères ! Quelle est l'origine de tout cela et pourra-t-on un jour procéder à une unification plus profonde des forces ?

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328.            Multiplication proche de 100

Procédé

Notez les compléménts à 100 (colonne de droite).

Mettre leur produit à droite (dizaines et unités)

Précédé de 100 auquel on ajoute ou on retire la somme, selon que les nombres sont supérieurs ou inférieurs à 100.

 

Justification

(100 + a) (100 + b)

= 10000 + 100 (a + b) + ab

 

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329.            Carrés des nombres en 5

Bonnes astuces de calcul mental.

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330.            Chemin eulérien de nombres

Suite de muliples et diviseurs

Vous connaissez le jeu qui consiste à suivre un dessin sans lever le crayon. On dit que le tracé suit un chemin eulérien.

L'idée ici consiste à exécuter un tracé reliant les nombres entiers avec pour règle que le nombre suivant est un multiple ou un diviseur du précédent.

 

Défi

Ainsi (Illustration), le nombre 1 divise 5, le nombre 3 est un multiple de 1, le nombre 6 est un multiple de 3, le nombre 2 est un diviseur de 6 et le nombre 4 est un multiple de 2

Le défi consiste à prolonger cette suite avec les nombres: 7, 8 … n.

Rapidement, il faudra se résoudre à créer deux chemins, puis trois …

Essayez !

 

 

Une des suites de multiples-diviseurs formant un  chemin eulérien pour n = 6

 

5

1

3

6

2

4

 

 

 

Il existe trois autres telles suites pour n= 6, saurez-vous les trouver ?

 

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331.            Multiplication mentale - TRUC

 

Principe

Il existe un truc simple qui permet d'effectuer des multiplications rapidement, sans poser toute l'opération comme appris à l'école.

L'avantage est de donner les chiffres de la gauche vers la droite les uns après les autres (avec un certain d'entrainement).

 

Avec deux chiffres

Prendre la colonne de gauche et multiplier (3x2 = 6).

Prendre les deux colonnes et faire la somme des produits en croix (3x1 + 2x4 = 11) .

Prendre la colonne de droite et multiplier (4x1 = 4).

Les chiffres du résultat viennent les uns après les autres. Attention à tenir compte des retenues éventuelles.

 

Cas de 2 chiffres (détail et squelette du calcul) 

 

Avec plus de chiffres

Le méthode avec plus de chiffres est une généralisation du cas à deux chiffres.

Prenez successivement 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 colonnes, en allant de la gauche vers la droite.

Faites tous les produits en croix en priorité, puis sur la dernière colonne verticale si elle existe. Sommez à chaque fois.

Il est utile, sans habitude, de notez les résultats intermédiaires comme indiqué sur l'illustration, surtout pour tenir compte des retenues.

 

Exemple avec le cas quatre colonnes

*      2x7 + 1x5 (produit en croix extrêmes);

*      + 3x5 + 2x4 (produit en croix suivant);

*      Pas de colonne verticale.

Somme: 14 + 5 + 15 + 8 = 42

On pose 2 comme unité (jaune clair) et 4 comme retenue (bleu).

 

Cas de 4 chiffres (disposition pratique)

1x2 = 2;

1x3 + 2x2 = 7;

1x4 + 2x5 + 3x2 = 20; etc.

Explications détaillées sur la page en lien

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332.            Rayon du cercle avec cordes

Énigme classique dans certains concours

Avec ces trois mesures, retrouvez le rayon R du cercle.

Deux théorèmes, à condition de les connaitre, donnent immédiatement la solution à ce défi.

 

Théorème des cordes:
2
 6 = 3  x = > x = 4

Relation donnant le rayon:
4R² = 2² + 3² + 6² + 4² = 65
R = 4,0311...

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333.            Point interne au rectangle

Le Point P interne au rectangle est quelconque.

 

Propriété

a² + b² = c² + d²

 

Démonstration (simple) avec Pythagore

a² + b² = u² + x² + v² + y²

c² + d² = x² + v² + u² + y²

Il y a bien égalité.

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334.            Nombres quadrillages

Exemple

 

12 = 2 (2 x 3)

= 4 T2

= CC2 – 1

= 2² + 3² – 1

5² + 12² = 13²

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

 

Propriétés

*     Nombre quadrillage: 12 traits dans une grille 2x2.

*     Quatre fois le deuxième nombre triangulaire.

*     Nombre carré centré moins 1.

*     Somme de deux carrés moins 1.

*     Nombre central d'un triplet de Pythagore jumeau.

*     Nombre central de cette somme de carrés.

 

Ensemble, ces propriétés sont communes à toute une série de nombres: 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, 364, 420, 480, 544, 612, 684, 760, 840, 924, 1012, …

 

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335.            Équation de Bachet

 

Bachet de Méziriac, en 1621, cherche des cubes et des carrés qui seraient proches à 2 près. Il trouve:

33  52 = 27 – 25 = 2

 

Fermat enchaine en défiant ses contemporains: montrer que la solution est unique en nombres entiers.

 

Mordell démontrera en 1922 que les solutions pour  x3  y2 = k sont en nombre limité (y compris 0 solutions)

 

 

Le cas de k = 1 (illustration) montre les cinq solutions possibles sur ces courbes dites elliptiques.

 

Graphe de y2 = x3 + 1

Solutions: (-1,0), (0,1), (0,-1), (2,3) et (2,-3).

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336.            Puissances et divisibilité par 5

 

Propriété

La somme de cinq nombres consécutifs quelconques portés à la puissance p est toujours divisible par 5, sauf si p est un multiple de 4.

 

Exemple littéral pour les carrés

(n + 2)² + (n + 1)² + n² + (n – 1)² + (n – 2)²

= 5 (n² + 2)

 

51 + 41 + 31 + 21 + 11 =   15 =   3 x 5

52 + 42 + 32 + 22 + 12 =   55 = 11 x 5

53 + 43 + 33 + 23 + 13 = 225 = 45 x 5

54 + 44 + 34 + 24 + 14 = 979  Non divisible

55 + 45 + 35 + 25 + 15 = 4 425 = 885 x 5

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337.            Carré magique à la demande

Tour de magie consistant à construire un carré magique 4x4 devant le public. La constante sera proposée par ce public.

 

Disons que le choix s'est porté sur 55.

La somme habituelle pour ce carré magique est 34. Prenons l'un de ces carrés de référence (nombres en noir dans le carré du haut).

La différence entre ces deux nombres (21) est divisée par 4 (21 / 4  = 5 reste 1).

Chaque nombre du carré magique jusqu'à 12 sera augmenté de 5 et les suivants seront augmentés de 6 (addition en rouge)

Notez qu'alors chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale est bien augmentée de 21.

En bas le carré magique demandé, additions effectuées.

 

Pour ajouter de l'éclat à ce tour, vous partirez d'un carré vierge et vous demanderez au public de vous indiquez la prochaine case à remplir.

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/CMor4Men_fichiers/image017.jpg

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338.            Code César – Brève Junior

 

Code de Jules CÉSAR

Jules César est un empereur Romain qui a vécu vers les années 50 avant Jésus-Christ. Il y a plus de 2000 ans. Il faisait souvent la guerre et il envoyait des messages secrets à ses armées.

Par exemple, peux-tu décoder celui-ci?

 

Le Message de MAMIE et PAPY

 

Voici un nouveau message avec un nouveau code secret comme l'aurait fait Jules César.

Je te conseille de regarder la solution, car il est très dur sans connaître le truc.

Cette fois il faudra dessiner une grille de carrés.

 

SOLUTION

 

Pour chaque lettre, il suffit de prendre la lettre qui vient après dans l'alphabet: le A devient B, le B devient C, et ça continue.

 

La première lettre est un K. e devient L, car le L est la lettre qui vient après le K dans l'alphabet. Puis le N devient O, et ainsi de suite …

      Voici la solution complète:

 

Message secret

K

N

T

H

R

D

.

D

S

.

B

K

D

L

D

M

S

Message décodé

L

O

U

I

S

E

.

E

T

.

C

L

É

M

E

N

T

SOLUTION

 

Pour trouver le message, il faut dessiner une grille de quatre carrés par quatre carrés.

Tu écris les lettres secrètes sur la première case, mais en descendant

Regarde où se trouvent les quatre premières lettres BEAC, sur la colonne jaune de gauche.

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339.            Fourchette à trois dents

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