NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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BRÈVES de MATHS – Page 18

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

340.            Identité d'un nombre entier

 

Un nombre entier est caractérisé principalement pas son développement en facteurs premiers.

Le théorème fondamental de l'arithmétique dit que le développement en facteurs croissants est unique

L'énumération de ses diviseurs  et leur quantité est une conséquence de la factorisation: ce sont tous les produits des facteurs entre eux.

La somme complète ou sans le nombre lui-même est utilisée pour déterminer si un nombre est déficient, parfait ou abondant.

 

 

Facteurs

60 = 1 x 2² x 3 x 5

Diviseurs

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Quantité

12

Somme

1 + 2 + 3 + … + 60 = 168

S - N

168 – 60 = 108

 

Le nombre 60 est abondant car la somme des diviseurs propres (108) est supérieure au nombre 60.

Brèves associées

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>>> Nombres 0 et 1

Pour en savoir plus

>>> Théorème fondamental de l'arithmétique

>>>  Nombre entier

 

 

341.            Nombre 60

 

Carte d'identité

Voir La brève ci-dessus

 

Ses diviseurs

La principale propriété du nombre 60 est qu'il possède une grande quantité de diviseurs dont tous de 2 à 6.

Ce qui explique son choix comme base de numération par les Mésopotamiens. Avec lui, il est possible de former de nombreuses fractions pratiques pour un usage dans la vie de tous les jours.

Le nombre 60 est super-abondant. Aucun nombre plus petit n'a une somme de diviseurs aussi grande (168). La somme juste inférieure est 124, somme des diviseurs de 48.

 

 

Sa nature

60 est un nombre pair, divisible par 2.

60 est un nombre composé.

60 est un nombre multipronique. Il est le produit de nombres sans puissance:
60 = 3 x 4 x 5

60 est un nombre d'Harshad. Il est divisible par une combinaison de ses chiffres:
60 / (6 + 0) = 10.

 

Propriétés

Comme tout produit de trois nombres consécutifs dont le central est en 4k, 60 est divisible par 12.

L'angle de 60° est l'angle du triangle équilatéral.

Brèves associées

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>>> Nombre pronique

Pour en savoir plus

>>> Nombre 60 (DicoNombre)

>>> DicoNombre – Portail

>>> Divisible par 12

>>> Nombres multi proniques

 

 

 

342.            Rectangle partagé

 

Énigme

Un rectangle ABCD et deux points E et F quelconques sur AB et BC.

Que peut-on dire de la surface jaune par rapport  à celles en bleu ?

 

Indice

L'aire d'un triangle inscrit dans un rectangle (comme ADF ou DEC) est égale à la moitié de l'aire (R) du rectangle.

 

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>>> La fourmi sur le cube

Pour en savoir plus

>>> Rectangle partagé – Solution

>>> Rectangle – Énigme

 

 

343.            Programmes et pages Internet

Jaune: des langages de programmation qui se ressemblent.

Vert:     les fichiers de mon site Internet

Bleu:    chez mon fournisseur d'accès (Orange, Free, autres)

Brèves associées

>>> Pages sur l'informatique: binaire, ordinateurs, loi de Moore, etc.

Pour en savoir plus

>>> Outils de programmation avec explication de ce graphique

 

 

344.            Multiplication – Somme unités = 10

 

Un exemple (illustration)

Voyez cette multiplication: 24 x 26 = 624.

Elle marche à tout coup lorsque:

*    Le chiffre des dizaines est le même, et

*    La somme des chiffres des unités est égale à 10.

 

Autres exemples

82 x 88 = 72 16 avec 8 x (8+1) = 72 et 2x8 = 16

95 x 95 = 90 25

12 x 18 =   2 16

 

Note: si le produit des unités ne dépasse pas 10, placer un 0 intercalaire.

11 x 19 =   2 09  avec = 1 x 2 =  et 1 x 9 = 9

            91 x 99 = 90 09

 

 

Calcul rapide de 26 x 24 = 624

 

 

Justification

(10d + u) (10d + (10-u) )  = 100d(d+1) + u(10–u)

 

Brèves associées

>>> Multiplication de nombres proches de 100

>>> Multiplication rapide à pivot

Pour en savoir plus

>>> Multiplications avec 10 pour somme des unités

>>> Calcul mental – Index

 

 

345.            Multiplication par 11, 111

 

Multiplication par 11

 

Entourez le nombre par deux 0 (par la pensée).

Calculez chaque chiffre en appliquant une fenêtre glissante de deux chiffres.

Tenez compte des retenues éventuelles.

 

 

 

 

Multiplication

par 111

 

Même principe avec une fenêtre glissante de trois chiffres.

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Pour en savoir plus

>>> Multiplications par 11 et autres avec 11

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346.            Addition mentale

 

Le but est d'obtenir en premier les chiffres les plus "forts" (ceux à gauche), contrairement au calcul classique de l'école.

 

Alors je commence à gauche et je récite mentalement les lignes indiquées ci-contre dans le tableau: 40 + 20 = 60 puis 60 + 5 = 65 et enfin 65 + 3 = 68. Etc.

 

Bénéfice: le problème de la propagation de la retenue est éliminé.

 

 

Exemples d'additions à effectuer mentalement

 

Méthode adaptée pour addition de plusieurs nombres, mais vite délicate pour de grands nombres.

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Pour en savoir plus

>>> Addition – Truc de calcul mental

>>> Soustraction – Truc de calcul mental

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347.            Cubes et divisibilité par 6

 

La différence entre deux cubes successifs moins 1 est divisible par 6.

 

Calcul avec identité remarquable:
(n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1

 

En retirant les extrêmes:

3n² + 3n = 3 n (n + 1)

 

Parmi deux nombres consécutifs l'un est pair. Leur produit est divisible par 2.

 

L'ensemble est divisible par 2 et 3, donc par 6.

 

 

Propriété

Tn est le nombre triangulaire de rang n.

 

Exemples

23

– 13

– 1 =

8 –

1

– 1 =

6 =

1 × 6

33

– 23

– 1 =

27–

8

– 1 =

18 =

3 × 6

43

– 33

– 1 =

64 –

27

– 1 =

36 =

6 × 6

53

– 43

– 1 =

125 –

64

– 1 =

60 =

10 × 6

63

– 53

– 1 =

216 –

125

– 1 =

90 =

15 × 6

73

– 63

– 1 =

343 –

216

– 1 =

126 =

21 × 6

83

– 73

– 1 =

512 –

343

– 1 =

168 =

28 × 6

93

– 83

– 1 =

729 –

512

– 1 =

216 =

36 × 6

103

– 93

– 1 =

1000 –

729

– 1 =

270 =

45 × 6

113

– 103

– 1 =

1331 –

1000

– 1 =

330 =

55 × 6

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348.            Multiplication magique par 91

Table de 9

Multiplication magique

Explication

Une multiplication par 91 revient à multiplier par 100 et à retrancher le produit par 9.

 

Ex: 2 x 91 = 2 (100 – 9)

= 200 – 18  = 182

 

Il n'est pas étonnant de retrouver la forme incrémentale des chiffres due à la multiplication par 9.

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349.            Identité de Brahmagupta

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Puissanc/Carres/Brahma1_fichiers/image012.jpg

 

Exemples

50 = (1² + 2²) (1² + 3²) = (1² + 7²)

65 = (1² + 2²) (2² + 3²) = (1² + 8²)

68 = (1² + 1²) (3² + 5²) = (2² + 8²)

 

 

Propriété

Tous nombre somme de deux carrés peut être transformé en produit de deux sommes de carrés.

 

Plus précisément

(a² + b²) (c² + d²) = (ac – bd)² +  (ad + bc)²

(1² + 2²) (3² +4²) = (1.3 – 2.4)² + (1.4 + 2.3)² = 5² + 10²

 

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Pour en savoir plus

>>> Identité de Brahmagupta

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350.            Puissance de 2 moins 1

 

Défi

Trouver les facteurs de 216 – 1 sans effectuer le calcul

 

Calcul

216 – 1 =  65 535

             = 5 x 13 107

             = 5 x 3 X 4 369

             = ?

Suite, pas simple !

 

Autre méthode

Un petit changement d'écriture et une identité remarquable:

216 – 1 = 216116

= (28 + 18 ) (28 – 18) = 257 x (28 – 18 )

 

On continue …

= 257 x (24 + 14) (24 – 14)  = 257 x 17 x (24 – 14) 

= 257 x 17 x (22 + 12) (22 – 12)

= 257 x 17 x 5 x 3

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351.            Fractions en boucles

 

Motif en boucle avec des divisions et seulement trois nombres.

 

Un recherche par exploration ou par calcul montre que ce triplet {5, 7, 11} est le seul original à disposer de cette propriété, sauf un triplet trivial (anodin) formé de trois 1:  {1, 1, 1}.

Original, ici veut dire: nombres entiers positifs et tous premiers entre eux.

 

Bouclage avec les nombres5, 7 et 11

  

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352.            Produit de nombres proches

Deux nombres (n) et (n – 1)

Le produit de deux nombres consécutifs est égal au carré du plus grand diminué de ce nombre.
 

6 x 7 = 7² – 7

11 x 12 = 12² – 12

Deux nombres (n – 1) et (n + 1)

Le produit de deux nombres espacé de 2 unités est égal à au carré du nombre intermédiaire moins 1.

6 x 8 = 7² – 1

10 x 12 = 11² – 1

 

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353.            Calcul mental du cube

 

Pour calculer le cube de n, faire le produit des trois nombre consécutifs

centrés sur n et ajouter n.

Dans certains cas, il est plus facile de faire cette opération plutôt que les deux multiplications habituelles.

 

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354.            Bouliers

Boulier chinois ou Suan Pan

http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Abaque/General_fichiers/image016.jpg

Chaque colonne représente les dizaines successives comme avec nos nombres classiques. Chaque jeton en bas vaut 1 et chacun en haut vaut 5.

Boulier japonais ou Soroban

http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Abaque/General_fichiers/image021.jpg

 

Même principe pour ce boulier, qui ne comporte que quatre jetons en bas et un seul en haut.

Avec celui-ci, il est facile d'effectuer une transposition à la main: le pouce vaut 5 et les quatre autres doigts valent 1 chacun.

Une méthode de calcul mental avec les doits utilise ce principe.

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>>> Soroban et calcul avec les doigts

 

 

355.            Carré = somme de cubes

 

 Exemples de lecture et explications

 

43 = 64 = 8²

93 = 729 = 27²

Deux nombres à la fois cubes et carrés

 

13 + 23         =   9 = 3² = (1 + 2)²

13 + 23 + 33 = 36 = 6² = (1 + 2 + 3)²

La somme des cubes des nombres consécutifs de 1 à n est égale au carré de la somme des nombres de 1 à n.

 

43 + 83 = 576 = 24² = (1 + 23)² = …

13+ 23 + 63 = 225 = 15²  = (2 + 13)² = …

Il existe des cas où, la somme de cubes quelconques est égale à un carré. Il est aussi égal au carré de toutes les partitions de la racine de carré (évident).

 

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>>> Carré et cube à la fois

Pour en savoir plus

>>> Carré = Somme de cubes

 

 

356.            Calcul du carré
                 d'un nombre à trois chiffres

Identité

 

(a + b + c )²

     = a² + b² + c²

    + 2ab + 2bc + 2ca

 

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357.            Hasard

 

Étymologie

En arabe populaire: az-zahr désignait le dé à jouer (le "az" est la forme de "al" remplacée devant "z"). Forme passée par l'espagnol azar, coup défavorable au jeu de dés. Le Moyen Âge ajoute un h, comme c'était souvent l'usage devant les mots à initiale vocalique. Vers 1150, hasart désignait le jeu de dés.

 

De son côté aléa vient du latin: jeu de dés, jeu de hasard. Alea ludere: jouer aux dés. Alea jacta est: les dés sont jetés ou le sort en est jeté. Phrase prononcée par Jules César avant de franchir le fleuve Rubicon, au nord est de l'Italie en 49 av. J.-C.

 

 

Limite de nos certitudes

La mécanique classique, et toutes ses lois, peut-elle tout prédire comme le pensait Pierre-Simon de Laplace: "une intelligence qui connaîtrait toutes les forces de la nature … Rien ne serait incertain pour elle et l'avenir comme le passé serait présent à ses yeux".

 

Cette prédiction déterministe a été mise à mal lors de la découverte des phénomènes chaotiques.

La moindre différence de conditions initiales caractérisant un phénomène peut l'entrainer sur des routes totalement différentes.

 

La mécanique quantique nous révèle qu'un phénomène est dans plusieurs états à la fois et que c'est son observation qui impose la concrétisation en un état plutôt qu'un autre.

 

Le hasard est loin d'être maitrisé !

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358.            Grenouilles sauteuses

Le jeu consiste à faire passer les pions bleus à la place des rouges, et les rouges à la place des bleus.

 

Règle du jeu

Les pions avancent vers leur nouvelle destination et ne repartent jamais en arrière.

Un pion avance vers une place libre devant lui ou saute par-dessus un pion pour atteindre la place libre juste derrière.

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Deplacem/Grenouil_fichiers/image011.jpg

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Deplacem/Grenouil_fichiers/image037.jpg

 

La solution optimale nécessite 15 mouvements.

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359.            Motif itératif en 99 et 98

 

Comment calculer simplement : 999..9² – 1, sachant qu'il y a vingt fois le chiffre 9.

Il suffit  de prendre 99² – 1 et de le mettre sous la forme (100 – 1)² - 1. En développant le carré on obtient: (100² – 2 x 100 + 1) – 1  = 200² - 200 = 9800.

En poursuivant, on découvre la règle de composition du résultat. (Voir Tableau)  

Pour 20, on trouvera immédiatement:

 

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