NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Maths en se divertissant

 

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Atlas des maths

 

Page 19 (360-379)

Page 20 (380-399)

Page 21 (400-419)

Page 22 (420-439)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 21

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

400.            Syllogismes

 

Énoncé classique

Tout homme est mortel

Socrate est un homme

Socrate est mortel

Aristote

(Ou du moins prêté à Aristote)

 

Forme générique

Tout  B est A

C est B

Alors C est A

Type Barbara

Le type le plus classique

 

Illustration

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Pour en savoir plus

>>> Les 14 types de syllogismes

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401.            Racine de 2 triple

 

Que vaut:

 

 

Formation d'un entier à partir de nombres irrationnels

 

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>>> Racine cubique jusqu'à deux chiffres

>>> Puissance de 2 – Échiquier

>>> Carrés des nombres en 5

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>>> Racines de 2 à étages

>>> Nombres irrationnels

>>> Carte postale 3225

 

 

402.            Sinus et cosinus & un DEMI

Partage de la tarte en six parts égales – Astuce

Pour partager une tarte en six, je partage d'abord en 2 selon (disons la ligne verticale de la figure).

Je repère le milieu du rayon supérieur et mentalement,  je dessine une horizontale qui coupe le bord de la tarte en un point que je note

Je découpe selon un rayon qui aboutit à ce repère.

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403.            Actualités 2018

 

Découverte d'un nouveau nombre premier, le plus grand avec 1,5 million de chiffres en plus du précédent record.

Stephen Hawking (1942-2108): décès

 

Robert Langlands: prix Abel

 

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>>> Actualités 2018

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404.            Nombres somme de carrés

Formulation mathématique et en anglais

Théorème des quatre carrés de Lagrange

Un entier naturel m peut s'écrire comme la somme de quatre carrés (au plus) s'il positif ou nul.

25 = 5²

26 = 5² + 1²

27 = 5² + 1² + 1²

28 = 5² + 1² + 1² + 1²

29 = 5² + 2²

Théorème des trois carrés de Fermat

Ci-dessus, attribué à tord à Legendre, lequel caractérisera plutôt les résidus quadratiques.

Tout entier naturel m peut s'écrire comme la somme de quatre carrés s'il est positif ou nul et s'il n'est pas de la forme 4a (8k + 7) avec a et k des entiers relatifs.

Somme de 3 carrés

25, 26, 27, 29, 30, 32, …

Somme de 4 carrés

28, 31, 39, 47 …

Théorème de Fermat démontré par Euler

Tout nombre premier supérieur à 2 peut s'écrire comme la somme de deux carrés si le reste de sa division par 4 est égale à 1 (p congru à 1 modulo 4).

11 = 2 x 4 + 3  NON

13 = 3 x 4 + 1  OUI

       et 13 = 3² + 2²

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>>> Calcul du carré des nombres à trois chiffres

Pour en savoir plus

>>> Théorème de Lagrange (4 carrés)

>>> Théorème de Fermat (3 carrés)

>>> Théorème de Fermat (2 carrés)

 

 

405.            Types de pseudo-premiers

 

Deux critères pour classer les nombres pseudo-premiers de Fermat (FPP):

La valeur de la base a & le type de condition de Fermat, forte ou faible

 

Explications sur la page Primalité des nombres

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>>> Petit théorème de Fermat

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406.            Château et douves

Énigme

Un  jardinet  est entouré d'eau. Vous désirez vous rendre au centre et vous ne disposez par de cette planche de 5 m qui vous le permettrait.

Par contre, vous avisez un tas de planches, mais toutes nettement plus courtes que 5 mètres.

Réussirez-vous à rejoindre le jardinet ?

 

Solution

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>>> Trois souris sur triangle

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>>> Château et douves – Calculs

>>> Puits et les deux barres

 

 

407.            Palintiples

 

Devinette

Quel nombre  de quatre chiffres se retourne lorsque multiplié par 4 ?

What 4-digit number reverses its digits

when multiplied by4 ?

 

 

Palintiple

Un palintiple est un nombre qui est égal à k fois son retourné avec k > 1.

Le plus petit non trivial est 8712 dont le retourné 2178 vaut un quart de 8712.

 

 

 

Réponse

2178 x 4 = 8712

 

Quelques palintiples

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>>> Nombre 8 712

 

 

408.            Nombres polis

Définition

Un nombre poli ou escalier est un nombre qui peut s'écrire sous la forme de une ou plusieurs sommes de deux ou plusieurs nombres consécutifs.

 

Exemple: 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

= 4 + 5 + 6 = 7 + 8

 

Propriétés

Les nombres polis ou en escaliers ou trapézoïdaux sont en fait tous les nombres entiers, sauf 1 et les puissances de 2.

 

On calcule le degré de politesse d'un nombre un peu comme on calcule la quantité de diviseurs d'un nombre.

 

Nombres polis jusqu'à 14

Le nombre 15 est 3-poli

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>>> Nombres polis – Introduction

>>> Nombres polis – Développement

>>> Quantité de diviseurs

 

 

409.            Nombres fluets (skinny numbers)

Un nombre fluet (skinny number) est un nombre sans création de retenue dans la multiplication par lui-même, c'est-à-dire, lorsqu'il est mis au carré.

Le nombre 13 est fluet alors que 14 ne l'est pas du fait que dans la multiplication on trouve 4 x 4 = 16.

 

Un nombre fluet comporte:

*      Jamais de 4;

*      Un seul 3, mais alors sans 2;

*      Des 2 mais alors sans 3;

*    Un 2 ou deux 2, mais jamais trois 2;

*    Des 0 et des 1 sans restrictions.

 

Nombres fluets jusqu'à 1000

1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 30, 31, 100, 101, 102, 103, 110, 111, 112, 113, 120, 121, 122, 130, 200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 300, 301, 310, 311, 1000.

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410.            Hexagone magique

Énigme

Énigme de niveau école primaire.

 

Placez les nombres de 1 à 6 dans cet hexagone de sorte que la somme de deux nombres consécutifs soit toujours 6, 7 ou 8.

 

Quelle est la valeur de x ?

 

Note: le 1 est déjà placé, mais il pourrait être n'importe où.

 

Solution

À partir du 1 déjà placé, pour atteindre 6, 7 ou 8, on a le choix entre 5 et 6 seulement. L'un va en haut du 5, l'autre en bas.

Nombres qui restent: 2, 3 et 4.

 

Après le 6, seul le 2 convient pour faire la somme 8; en effet, 3 et 4 sont trop grands.

Avec le 3 et le 4 qui restent, seul le 4 convient après le 2.

 

Soit deux solutions, dans un sens ou l'autre:

[1, 5, 3, 4, 2, 6, 1] ou  [1, 6, 2, 4, 3, 5, 1].

 

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411.            Périmètre du rectangle divisé

Énigme

On donne la figure de gauche. Les nombres indiquent le périmètre des rectangles internes.

Avec ces seules indications, retrouver le périmètre du grand rectangle.

 

Solution

Plaquons les rectangles sur les bords comme sur la figure de droite.

On observe que chaque côté des rectangles internes contribuent aux côtés du grand rectangle.

Attention, les largeurs des bandes, contribuent 4 fois alors qu'on en a besoin que de 2. Deux fois ces segments représentent le périmètre du rectangle central.

Il suffit alors d'ajouter le périmètre des rectangles internes et retrancher celui du rectangle central (ici un carré).

  

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412.            Égalité en 71 à rectifier

 

Rectifier cette égalité en ajoutant un seul point

Solution

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413.            Série avec exponentielle

Quelle est la valeur limite de E ?

Passons à l'écriture fractionnaire:

Produit à somme des exposants:

Avec la limite de cette suite

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414.            Nombres avec carrés

 

Première succession de quatre nombres avec facteurs carrés

242 = 2  x 112

243 = 32 x 33 = 35

244 = 22 x 61

245 = 5  x 72

Pour cinq

844 =   22 x 211

845 = 132 x   5

846 =   32 x 94

847 = 112 x   7

848 =   42 x 53

 

 

Liste des plus petites suites de k nombres avec des carrés

[1, 4], [2, 8], [3, 48],
[4, 242], [5, 844],
[6, 22020]

 

Les suivants dans l'ordre

217070, 1092747, 8870024, 221167422, 221167422, 47255689915, 82462576220, 1043460553364, 79180770078548, 3215226335143218, 23742453640900972, 125781000834058568, …

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415.            Somme de puissances

 

Formule générale

 

Cas des puissances de 2

 

 

Exemples

40 + 41 + 42 + 43 + 44 = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341
= (45 – 1) / (4 – 1) – 1 = 1023 / 3 = 341

1 + 10 + 100  + 1 000 = 1 111
= (104 – 1) / (10 – 1) = 10 000 / 9 = 1 111

 

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …+ 1 024 = 2 048 – 1 = 2 047

 

Valeur de a en horizontal et de n en vertical

 

Nombres de ce tableau jusqu'à 1111. Ils sont 37.

1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 21, 31, 40, 43, 57, 63, 73, 85, 91, 111, 121, 127, 156, 255, 259, 341, 364, 400, 511, 585, 781, 820, 1023, 1093, 1111.

 

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416.            Numération romaine médiévale

 

Numération curieuse utilisée au Moyen Âge. Elle mêle les chiffres romains classiques avec des multiples de 20 (système vigésimal). Elle est à l'origine de notre curieux quatre-vingts.

L'illustration montre la notation classique des Romains (LXXX) pour le nombre 80. En bas, en bleu, les trois versions médiévales, la plus courante étant (IIIIXX) qui est la plus déroutante.

 

Avec cette numération:

IIIIXXX = IIIIXXX = 4 x 20 + 10 = 90

XIIIXXXIIII = XIIIXXXIIII = 13 x 20 + 14 = 274

 

Nombre 80 en chiffres romains

 

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417.            Carré magique des moyennes

 

En bleu sur la périphérie du carré, les nombres indiqués sont des contraintes.

Chaque nombre dans le carré central est la moyenne des quatre nombres qui l'entoure.

 

 

 

Généralisation à une grille d'ordre quelconque et à des contraintes (valeurs sur le pourtour) quelconques.

Application à la propagation de la chaleur dans les matériaux.

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418.            Triangle de Leibniz

Triangle formé à partir des nombres (fractions) de la série harmonique.

Chaque ligne est constituée des inverses des termes du triangle de Pascal divisés par le numéro de la ligne (à partir de 1).

Chaque terme est la somme des deux du dessous.

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419.            Divisibilité de An – Bn

 

 

an – bn est toujours divisible par (a – b)

Ex: 7n – 3n divisible par 7 – 3 = 4

       7n – 6n divisible par 7 – 6 = 1, et par 13 si n est pair.

 

Cas où b = 1; où il est question de repdigits

Le développement montre qu'un nombre à une puissance auquel on soustrait un, est un nombre composé; et, il s'écrit comme un repdigit dans la base puissance moins un. C'est un nombre brésilien.

 

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Château et douves - Solution

Avec deux planches de 4,75 mètres, ça marche en les disposant comme indiqué.

 

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Rectifier cette égalité en ajoutant un seul point – Solution

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