NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Atlas des maths

 

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Page 23 (440-459)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 22

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

420.            Prix Wolfskehl

Paul Wolfskehl, mathématicien né en 1856 à Darmstadt, promet une récompense à quiconque pourrait retrouver la preuve de Fermat (environ un million d'euros, mais devenu 30 000 euros pour Wiles du fait de l'inflation en Allemagne après la première guerre mondiale). Pourquoi cette générosité? La raison est controversée.

Est-ce l’attachement de Wolfskehl à une mystérieuse jeune femme, jamais identifiée. La femme le repoussa. De désespoir, il décida de se suicider d'une balle dans la tête à minuit pile. En attendant, il se rendit dans sa bibliothèque et commença à feuilleter des documents de mathématiques.

Il tombe sur le travail d'Ernst Kummer (1810-1893), qui avait  démontré qu'il y avait une erreur dans la preuve du dernier théorème d'Augustin Cauchy (1789-1857). Piqué au vif, il tente de prouver que Kummer avait tort et que la preuve de Cauchy nécessitait simplement une légère mise au point. Il travaille jusqu'à l'aube pour constater que Kummer avait bel et bien raison. La conjecture de Fermat résiste.

Le délai de minuit est passé! Wolfskehl est tellement enthousiasmé par les mathématiques qu'il abandonne l'idée du suicide et décide de créer le fameux prix.

Une autre source explique que Wolfskehl, forcé de rester en chaise roulante, ne pourra pas être docteur. Alors, il s'est tourné vers les mathématiques. Le prix aurait été créé en hommage à cette nouvelle vie.

Une autre source dit qu'on l'aurait obligé à épouser une garce et que le prix ainsi mis en jeu échappait à sa succession.

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421.            Tangente sans le centre

 

Construction

*      Arc de  cercle (bleu; ici cercle complet).

Le centre est non connu

*      Point A quelconque.

*      Point B et C tel que arc AB = arc BC.

*      Angle BÂT tel que BÂT = BÂC.

*      AT est la tangente en A au cercle.

 

Cette construction est souvent intéressante même si le centre est connu.

 

Explications

*      Les angles BÂT et BÂC sont égaux (construction).

*      Ils interceptent des arcs égaux.

*      Pour BÂC, c'est l'arc BC.

*      Pour BÂT, c'est forcément AB (= BC).

*      L'angle qui intercepte l'arc AB est formé du segment AB et l'autre côté est nécessairement la tangente en A.

 

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422.            Logarithme et âge du chien

 

Une étude récente (2019) a montré que le facteur sept pour calculer un âge équivalent du chien est un mythe. On aurait C = 15 ans pour le chien qui serait équivalent  H = 7 x 15 = 150 ans des hommes.

L’Université de Californie à San Diego (États-Unis), après étude de l’influence de l’ADN sur l’âge des Labradors (épigénétique), propose une formule comprenant un logarithme :

 

H = 16 ln C + 31

 

Graphe : âge équivalent humain du chien

 
On donnait 2 x 7 = 14 ans à un chien de 2 ans ; 
il faudrait plutôt lui attribuer 42 ans.

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423.            Colorier le graphe pentagonal

Énigme

Le défi consiste à colorier chacun des dix sommets de ce graphe de sorte que deux sommets réunis par un segment soit de couleur différente.

 

Défi

Trouver d'autres solutions.

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424.            Diagonale brisée

Énigme

On connait les dimensions de cette diagonale brisée à angles droits.

Trouver la longueur du côté du carré.

 

Solution

Tracer la diagonale (verte) et translater deux segments de sorte que l'on retrouve un triangle rectangle.

Avec Pythagore:

D² = 21² + 3² = 450

D = 15

 

Encore Pythagore pour le côté:

C² + C²  = D² = 2 C²

 

 

 

Carré avec diagonale brisée

 

Détail pour solution

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425.            Formule pour passer de 3 à 2

Formule trigonométrique qui transforme les nombres entiers.

Tout nombre n est égal à cette fonction en y injectant n² – 1 à la place du 3.

2 = F(3 ) = F(2² – 1)
10 = F(10² – 1) = F(99)

n = F(n² – 1)

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426.            Aire dans le carré divisé

Énigme

ABCD est un carré. Les points F, G, H et I sont les milieux des côtés. Le point E est quelconque.

Quelle est l'aire du quatrième quadrilatère ?

 

Solution

On montre assez facilement la propriété suivante sur une telle figure:

Aire verte  = aire violette

1 2 + 6 = 9 + x

x = 9

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427.            Nombre premier et Constante e

 

Le quatre plus petits nombres premiers formés à partir des chiffres de e = exp(1)

 

2,

271,

2 718 281,

27182 8182845904 5235360287 4713526624 9775724709 3699959574 9669676277 2407663035 3547594571
=  0,27183 1085 (84 chiffres)

 

DicoNombre: nombre 2, 271, 2 718 281

 

 

Facteurs pour les dix premiers nombres formés avec e

2, 2, 2

7, 27, 33

1, 271, 271

8, 2718, 2 x 32 x 151

2, 27182, 2 x 13591

8, 271828, 22 x 67957

1, 2718281, 2718281

8, 27182818, 2 x 13 x 1045493

2, 271828182, 2 x 3 x 45304697

8, 2718281828, 22 x 97 x 179 x 39139

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428.            Repunits et palindromes

Les carrés des repunits de 2 à 9 sont palindromes et forment un nombre en vague avec les nombres successifs à partir de 1.

 

Celui en jaune est pannumérique: il utilise tous les chiffres de 1 à 9.

 

On note ce produit de carrés:
11111² = 41² x 271² = 123454321

 

Un repunit est aussi un repdigit particulier

 

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429.            Permutations alternées

 

Le mathématicien français Désiré André en 1879 travaille sur les permutions des nombres.

Il ne retient que celles en rouge sur ce tableau. Faisant la différence entre les chiffres successifs, il ne garde que les cas où le  signe alterne.

 

Exemple de permutation alternée pour [1 à 8]

 

Quantité

Pour les permutations qui commencent par un signe positif, la quantité de permutations est:
[3, 2], [4, 5],  [5, 16], [6, 61], [7, 272], …
Ex: avec 7 chiffres, il y en a 272.

Désiré André a trouvé la formule qui permet de calculer ces nombres. Ce sont les numérateurs de la relation indiquée ci-dessous.

Il s'agit d'un développement en série d'une fonction trigonométrique simple: sécante (x) + tangente (x). Un relation magique pour un mathématicien !

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430.            Divisibilité des triplets de Pythagore

 

Il existe une infinité de triplets de Pythagore; (3, 4, 5) est le plus petit.

 

Nombreuses propriétés de divisibilité:

*      deux sont impairs et un est pair;

*      divisibilité par 3, 4 et 5; et

*      divisibilité du produit par 60.

 

Le triplet (3, 4, 5) est représentatif.

 

Deux exemples

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431.            Somme des puissances de 9

 

Énigme

90 + 91 + 92 + … + 92020 = …u ?  (chiffre des unités)

 

Unités des puissances et de leur somme

Les puissances de 9 se terminent alternativement par 1 et 9.

Leur somme (1 + 9^1 + 9^2 + …+ 9^n)  se termine alternativement par  1 et 0.

L'unité vaut 1 pour n pair.

 

Réponse à l'énigme: n = 2020 (pair) => u = 1

 

Valeur de la somme

Explication du calcul: voir Somme des puissances de 9

La somme est un nombre triangulaire, soit la somme des entiers jusqu'à m, avec la valeur de m:

 

Exemple

S5 => m = (35+1 – 1) / 2 = 364

Somme des entiers de 1 à 364:

364 x 365 / 2 = 66 430

Vérification

  

 

Une puissance de 9 se termine par 9 ou 1.

La somme des puissances se termine par 0 ou 1.

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432.            2-Repdigits au cube

 

Tous les 2-repdigits (nombres avec "2" uniquement) au cube jusqu'au sixième ne contiennent pas de "2".

 

Record des cas où un k-repdigit ne contient pas le chiffre k.

 

Rang, Nombre, Son cube, Chiffres non utilisés

 

2, 22, 10648, {2, 3, 5, 7, 9}

3, 222, 10941048, {2, 3, 5, 6, 7}

4, 2222, 10970645048, {2, 3}

5, 22222, 10973607685048, {2}

6, 222222, 10973903978085048, {2, 6}

7, 2222222, 10973933607682085048, {}

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433.            Théorème de Pythagore

 

L'aire du grand carré oblique

est égale l'aire des deux carrés jaunes.

 

Construire les deux carrés jaunes de côtés a et b.

 

En reportant le petit carré dans le moyen (pointillés), on trace la ligne rouge qui engendre deux triangles rectangles identiques de côtés a, b et c.

 

Ces deux triangles déplacés en position bleue forment le grand carré oblique de côté c.

 

En exprimant les aires: c² = a² + b²

 

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434.            Retournés proportionnels

Nombres dont un multiple est son retourné (les mêmes chiffres lus à l'envers).

 

Tous les cas de 2 à 9 chiffres.

 

4

×

2 178

=

8 712

9

 

1 089

 

9 801

4

 

21 978

 

87 912

9

 

10 989

 

98 901

4

 

219 978

 

879 912

9

 

109 989

 

 989 901

4

 

2 199 978

 

8 799 912

9

 

1 099 989

 

9 899 901

 

 

4

×

21 999 978

=

87 999 912

9

 

10 999 989

 

98 999 901

4

 

21 782 178

 

87 128 712

9

 

10 891 089

 

98 019 801

4

 

219 999 978

 

879 999 912

9

 

109 999 989

 

989 999 901

4

 

217 802 178

 

871 208 712

9

 

108 901 089

 

980 109 801

 

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435.            Anagrammes des nombres

Comment compter les anagrammes en cas de présence de chiffres répétés ?

Même si les "0" sont omis dans l'écriture des nombres, ils sont présents implicitement et la méthode générale s'applique.

 

Avec le nombre 1009, il a quatre chiffres dont deux répétés:

 

En rouge les quatre nombres premiers: 19, 109, 1009, 9001. Le nombre 1009 est multi-premier.

 

 

Exemple de dénombrement des anagrammes de 1009

Notez que les deux "0 " sont différenciés pour le recensement.

     

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436.            Anagrammes entre deux nombres

 

Quelle est la probabilité que deux nombres à deux chiffres (de 0 à 99) soient anagrammes ?

 

Décompte par logiciel

0 à 9

10

sur

100

10 à 99

162

 

8 100

0 à 99

190

 

10 000

 

Soit une probabilité de 190 /10000 = 1,9%

 

Pourquoi pas la somme ?

On observe: 190 et 10 + 162 = 172.
Une différence de 18. Pourquoi ?

Parce que l'on compte les cas comme 20 et 02 et inversement, soit 2 x 9 = 18 cas en plus.

 

Avec deux chiffres (de 1 à 9)

Il y a 161 sur  7 921 possibilités: 2,33%

Avec trois chiffres (de 0 à 999)

Il y a 5 140 sur  106 possibilités: 0,514%

Avec quatre chiffres (de 0 à 9999)

Il y a 175 870 sur  108 possibilités: 0,175%

 

 

Calcul de probabilité pour deux chiffres

Il y a 100 nombres à deux chiffres y compris ceux en 00, 01, 02 …

Il y a 10 possibilités que les nombres soient avec chiffres identiques.

Probabilité:

On peut dire aussi qu'il y a 100 cas favorables pour 10 000 tirages, soit 1 / 1000.

 

Il reste 9 possibilités sur 10 que les nombres soient à deux chiffres différents, chacun existant deux fois:

 

Les cas sont exclusifs, les probabilités s'additionnent:

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437.            Cubes et 1, 2, 3, 4, 5, 6

 

Association de ces six premiers nombres pour former des opérations avec les cubes.

 

On connait le célèbre triplet de Pythagore dit, triplet isiaque: 3² + 4² = 5².

 

Avec le même triplet de nombres au cube, on obtient le nombre suivant (6) au cube. Remarquable!

 

 

 

En prime, le nombre de Platon: (3 x 4 x 5)4 = 604 = 63 x 60 000

 

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438.            Divisibilité par 8

 

Critères

Le critère classique de divisibilité par 8 dit qu'un nombre est divisible par 8, si ses trois derniers chiffres le sont. Il existe plus simple !

Les trois derniers chiffres du nombre sont notés cdu (centaines, dizaines et unités).

 

Prendre cd et ajouter u/2.

Si cette somme est divisible par 4,

le nombre initial est divisible par 8

 

Exemples

123 416 =>  41 + 3 =   44 = 11 x 4 => divisible par 8

456 984 =>  98 + 2 = 100 = 25 x 4 => divisible par 8

 

Explications

cdu = 100c + 10d + u = 8k

 

On retire un maximum de multiples de 8:

       =  80c + 8d + 20c + 2d + u

       =  8(10c + d) + 2(10c + d) + u = 8k

 

Le premier terme étant divisible par 8, le second doit l'être lui-aussi:

             2(10c + d) + u = 8k

             10c + d + u/2 = 4k

 

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439.            Somme 30

 

Énigme

Choisir trois balles parmi les huit proposées pour satisfaire cette égalité.

La somme de ces trois nombres doit être égale à 30.

 

Vous réaliserez rapidement que c'est infaisable, mais il y a un truc !

 

Voir Solution

 

 

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Solution

Solution proposée par une petit astucieux qui retourne la boule 9 pour en faite un 6.

 

 

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