NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Maths en se divertissant

 

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Atlas des maths

 

Page 21 (400-419)

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Page 23 (440-459)

Page 24 (460-479)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 23

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

440.            Multiplication par 9

 

Pour calculer 4 x 9, rien de plus simple avec les doigts:

*    Les deux mains face à vous.

*    Les doigts sont numérotés de 1 à10.

*    Plier le doigt n°4.

*    Les doigts levés à gauche donnent le chiffre des dizaines: 3.

*    Les doigts levés à droite indiquent le chiffre des unités: 6.

*    Alors 4 x 9 = 36.

 

Évidemment, cela marche pour toute la table de multiplication du 9.

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441.            Multiplication par 7

 

Un schéma simple permet de se représenter les unités des multiplications par 7.

Pensez au clavier de votre ordinateur ou de votre calculette.

Partez du 7 et parcourez les chiffres de haut en bas et de gauche à droite, vous balayez les unités des multiplications par 7.

 

En effet: 7 x 1 = 7 et le suivant est bien 7x 2 = 14 se terminant par 4.

Arrivé en bas avec le 1, on constate que 7 x 3 est bien 21 avec un 1 pour unité. Etc.

 

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442.            Les marées

 

On comprend facilement que la Lune attire l'océan vers elle du fait des forces de la gravitation. Mais pourquoi, elle le repousse de l'autre côté.

 

Les lois de Newton montrent que les forces de part et d'autre de la Terre sont de même intensité mais opposées. Il s'agit du différentiel par rapport à la force exercée au centre de la Terre.

 

Certains invoquent la force centrifuge due à la rotation du couple Terre-Lune. Cette considération est inutile dans un référentiel inertiel. Elle devient une force fictive commode dans un calcul avec référentiel non inertiel (qui serait attaché à la rotation).  

 

Pourquoi une marée de l'autre côté ?

Non, ce n'est pas un effet de la force centrifuge.

 

 

Les forces de part et d'autre

 

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443.            Construction dorée remarquable

 

Construction

Carré marron.

Segment vert joignant un sommet au milieu du côté du carré.

Cercles pointillés en vert (le grand, puis le petit).

 

Propriétés de cette figure

Aire carré  = Aire rectangle

Avec carré de côté 1

Diagonale du carré = rac(2)

Diagonale du rectangle  = rac(3)

Longueur du segment vert: rac(5) / 2

Longueur du rectangle  =  Phi, le nombre d'or

Larguer du rectangle = 1/ Phi

 

Construction d'Euclide

 

 

 

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444.            Somme ondulante = carré

 

Propriété

La somme des chiffres répétés sous forme palindrome est égale au carré du chiffre central. Valable de 2 à 9.

 

121 => 1 + 2 + 1 =   4 = 2²

12321 => 1 + 2 + 3 + 2 + 1 =   9 = 3²

1234321 => 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 4²

123454321 => 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 = 5²

123…9…321 => 1 + 2 +…+ 9 + … + 3 + 2 + 1 = 81 = 9²

 

 

Principe de formation du carré

 

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445.            3-repdigits au cube

Tous les 3-repdigits (nombres avec 3 uniquement) au cube ne comportent jamais les chiffres {1, 4, 8}.

 

Motif quasi-symétrique en
(370) (259) (370).

 

 

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446.            Théorème de Pythagore

 

Triangle rectangle ABC.

Carré ABDE sur l'hypoténuse.

 

La perpendiculaire issue du sommet C découpe le carré jaune en deux rectangles d'aires a² et b² pour une somme égale à c².

 

Explications

   

 

Amusant de voir comment les aires a² et b² se retrouvent simplement dans le carré de côté c.

 

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447.            Rétablir l'addition

 

Résoudre cette opération où chaque couleur représente un chiffre.

 

Solution

Unités:
0 + 0 + 0 = 0 ne convient pas car la somme serait nulle.
5 + 5 + 5  = 15 convient avec retenue de 1.

Dizaines: 3d + 1 = …5 => d  = 8 avec 2 de retenue.

Centaines: 3c + 2 = 5 = >  c = 1.

 

Bilan: 3 x 185 = 555.

 

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448.            Partager le triangle en six parts égales

 

 

Un triangle quelconque.

Ses trois médianes le découpent en six triangles moyens et six petits triangles.

 

Les trois couples de triangles (verts et bleus), avec un sommet commun et des bases égales à la moitié du côté, ont chacun la même aire.

 

Les six triangles (jaunes et marron) ont la même aire.

 

 

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449.            Divisibilité de an – bn  

 

Cas général

L'expression an – bn est toujours divisible par (a – b)

a2 – b2 = (a – b) (a + b)

a3 – b3 = (a – b) (a² + ab + b²)

a4 – b4 = (a – b) (a + b) (a² + b²)

 

Ex: 7n – 3n divisible par 7 – 3 = 4 => 7² – 3² = 40; 73 – 33 = 316

       7n – 6n divisible par 7 – 6 = 1, et par 7 + 6 = 13 si n est pair

=> 7² – 6² = 13; 74 – 34 = 1105 = 13 x 85

 

Cas où b = 1; où il est question de repdigits

 

Le développement montre qu'un nombre à une puissance auquel on soustrait un, est un nombre composé; et, il s'écrit comme un repdigit dans la base puissance moins un. C'est un nombre brésilien.

 

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450.            Multiplication à traits

 

Pour calculer 32 x 12,

*      Posons 3 et 2 allumettes parallèles et en tas espacés

*      Puis, posons 1 et 2 allumettes en oblique.

*      Notons les croisements par un point.

Avec cette disposition, trois alignements verticaux de points se dessinent.

Pour connaitre le résultat de la multiplication, il suffit de compter les points dans chaque colonne.

La multiplication devient une addition classique, avec ses retenues le cas échéant.

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451.            Énigmes virales

 

Une des innombrables énigmes que vous trouverez sur Internet. L'auteur prétend que seul 2% de la population est capable de la résoudre. Alors les internautes propagent le défi. C'est pourquoi, une telle énigme est dite virale.

Sa résolution semble simple. On propose rapidement une solution. Elle est majoritairement fausse. Il faut compter avec l'esprit retors des auteurs.

Saurez-vous déjouer les pièges? Un conseil, je ne ferais pas très confiance à ce petit bonhomme !

Solution

 

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452.            Fractions avec brique à jouer

 

La brique de base représente une unité. Ici elle possède huit emplacements propices à définir quelques fractions.

 

La brique de base est FRACTIONNÉE en 2, 4 ou 8.

 

Fractionnée en deux, on obtient deux demi-briques; lesquelles emboitées sur la brique de base, la couvrent complètement: deux demis égal un.

 

 

 

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453.            Pions en cercle – Énigme  

 

Comment encercler dix pions avec trois cercles ?

 

Un cercle et dix pions disposés en Y. Comment, avec trois cercles, isoler chacun des pions.

 

Énigme parfois habillée de la manière suivante: un enclos circulaire et dix chèvres, comment les isoler avec trois enclos circulaires?

 

On vérifie bien que les 10 billes sont dans chacune des 10 régions.

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/TroiCerc_fichiers/image030.gif

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454.            Anagrammes des nombres  

 

Deux chiffres distincts
12, 4, {1, 2, 12, 21}

Deux chiffres identiques
33, 2, {3, 33}

 

Trois chiffres distincts
123, 15, {1, 2, 3, 12, 13, 21, 23, 31, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}

Trois chiffres dont deux identiques
445, 8, {4, 5, 44, 45, 54, 445, 454, 544}

Trois chiffres identiques
666, 3, {6, 66, 666}

 

Quatre chiffres identiques
5555, 4, {5, 55, 555, 5555}

 

Quatre chiffres distincts
1234, 64, {1, 2, 3, 4, 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43, 123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432, 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321}

Quatre chiffres avec deux répétés
5567, 34, {5, 6, 7, 55, 56, 57, 65, 67, 75, 76, 556, 557, 565, 567, 575, 576, 655, 657, 675, 755, 756, 765, 5567, 5576, 5657, 5675, 5756, 5765, 6557, 6575, 6755, 7556, 7565, 7655}

Quatre chiffres avec deux et deux répétés
3344, 18, {3, 4, 33, 34, 43, 44, 334, 343, 344, 433, 434, 443, 3344, 3434, 3443, 4334, 4343, 4433}

Quatre chiffres avec trois répétés
1112, 13, {1, 2, 11, 12, 21, 111, 112, 121, 211, 1112, 1121, 1211, 2111}

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455.            Partitions strictes  

 

Partitions du nombre 6 (comme 1 + 5 = 6)

 

Partitions

T

I

D

1

1

1

1

1

1

1

1

 

 

1

1

1

1

2

2

 

 

 

 

1

1

2

2

3

 

 

 

 

 

2

2

2

4

 

 

 

 

1

1

1

3

5

2

 

 

 

 

1

2

3

6

 

1

 

 

 

 

3

3

7

3

 

 

 

 

1

1

4

8

 

 

 

 

 

 

2

4

9

 

2

 

 

 

 

1

5

10

4

3

 

 

 

 

 

6

11

 

4

 

On compte: T = 11 partitions du nombre 6, dont
I   = 4 sont composées de nombres impairs, et
D = 4 sont composées de nombres distincts.

 

Propriété

Quantité de partitions STRICTES

= quantités de partitions IMPAIRES

 

 

Quantité

1 à 9

1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8,

10 à 19

10, 12, 15, 18, 22, 27, 32, 38, 46, 54,

20 à 29

64, 76, 89, 104, 122, 142, 165, 192, 222, 256,

 

Exemples
n = 10, il y a 10 partitions strictes
n = 19, il en a 54
.

Et, autant pour les partitions en nombres impairs.

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456.            Puissances et mêmes chiffres

 

Nombres tels que ses chiffres se retrouvent dans une de leurs puissances, sans autres chiffres.

 

Le nombre  4 762 est le plus petit tel nombre pour un carré. évidemment certains chiffres sont répétés dans le carré. Le suivant est: 4 832² = 23 348 224.

Le plus petit pour une cube: 107 6243 =  1 246 600 760 666 624

 

La recherche est un excellent exercice de programmation ne présentant pas de grande difficulté.

 

Les mêmes chiffres de chaque côté

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457.            Tenségrité

 

Tenségrité: faculté d'une structure à se stabiliser par le jeu des forces de tension et de compression qui s'y répartissent et s'y équilibrent.

 

Occasion de construction de jouets en bois ou en briques de construction.

 

Cette structure (illustration)  ne tient que par ces trois chainettes (pas d'aimants !).

 

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458.            Somme des premiers – Goldbach

Christian Goldbach (1690-1764) propose une propriété qu'il ne sait pas démontrer, un e conjecture. Aujourd'hui encore elle reste sans preuve.

Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers. Également, tout nombre entier est somme de trois nombres premiers.

Pas de preuve, mais une forte présomption car chaque nombre est somme de multiples fois. Le nombre 90 est neuf fois somme de deux premiers. Le nombre 990 l'est 52 fois.

 

Exemples: 10 = 3 + 7 ; 100 = 47 + 53.

 

Un passage est constitué de plots numérotés avec tous les nombres entiers. Nous disposons de deux passerelles au choix avec des nombres premiers comme longueur.

Alors, nous pourrons rejoindre n'importe quel plot numéroté.

Il existe même neuf choix possibles pour atteindre le plot 90.

http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/GoldbaTa_fichiers/image009.jpg

 

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459.            Nombres premiers résistants

 

Le plus grand premier résistant (tronquable) par la droite:

                            73 939 133

 

Ce nombre est premier et si on l’ampute par la droite, il reste premier.

Coquetterie: Nombre de 8 chiffres, 8 fois premier.

 

Record par la droite:     73 939 133 – Ils sont 83.

Record par la gauche: 357 686 312 646 216 567 629 137 – Ils sont 260..

73 939 133

73 939 13

73 939 1

73 939

73 93

73 9

73

7

Ces nombres, obtenus par effacement du chiffre de droite, restent premiers

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