NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 22/08/2020

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths                                  

     

Maths en se divertissant

 

Débutants

Général

BRÈVES de MATHS

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Brèves

 

Atlas des maths

 

Page 23 (440-459)

Page 24 (460-479)

Page 25 (480-499)

Page 26 (500-519)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 25

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

480.            Quadrature du triangle

 

But

Transformer le triangle quelconque en un carré de même taille avec une construction à la règle et au compas.

 

Construction

Triangle quelconque ABC et la hauteur issue de C et son milieu D. Perpendiculaire en B à AB.

Cercle de centre B et de rayon CD. Intersection avec AB en E.

Milieu F de AE pour tracer le cercle vert. Intersection G.

BG est le côté du carré.

 

 

GB² = BA.BE = BA.CD

Aire du carré = Aire du triangle

Brèves associées

>>> Triangle du pitre à bord

>>> Types de triangles

Pour en savoir plus

>>> Quadrature du triangle

>>> Quadrature du cercle

 

 

481.            Carré magique 3x3 et permutations

 

Le but est de repartir les nombres de 1 à 9 dans une grille 3x3 de sorte que les sommes sur les lignes, les colonnes et les diagonales soient égales. La somme magique sera 15.

 

Il existe 9! = 362 880 façons de disposer ces nombres, mais seules huit répondent aux conditions indiquées.

 

Même! Une seule est la mère des sept autres, obtenues par permutations des emplacements. La figure montre ces carrés en visualisant la position du 1 et du 2 pour mettre en évidence les permutations.

 

Brèves associées

>>> Carré magique 6x6 – Construction

>>> Carrés magiques – Index

Pour en savoir plus

>>> Le carré magique 3x3 – Sa programmation

>>> Permutations

>>> Nombre 362 880

 

 

482.            Paradoxe de Banach-Tarski

Paradoxe devenu théorème

Il est possible de couper une boule en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première, à un déplacement près.

 

Démontré en 1924 par Stefen Banach et Alfred Tarski.

 

Récréer deux sphères identiques à partir d'une seule est évidemment infaisable en pratique.

Ce théorème fait appel à des notions situées aux confins des mathématiques avancées:

*      Axiome de choix,

*      Dénombrable et continu,

*      Infini façon "hôtel de Hilbert"

*      Théorie de la mesure

Brèves associées

>>> Nœuds, entrelacs et tresses

>>> Paradoxe de la corde à l'Équateur

Pour en savoir plus

>>> Sphère

>>> Sphères magiques

 

 

 

483.            Premier au carré

 

Un nombre premier au carré, sauf 2 et 5, est

un multiple de 24 plus 1.

 

La démonstration se base sur le fait qu'un nombre premier est toujours un voisin d'un multiple de 6.

On porte au carré et on montre que ce carré est divisible par 12 et par 2.

 

 

 

Brèves associées

>>> Premiers en 6k+1 et 6k+5

>>> Premiers en brèves – Index

Pour en savoir plus

>>> Premier au carré

>>> Nombre premier

>>> Nombre carré

 

 

 

484.            Nombres NRC – Nombre x Retourné = Carré

 

 

Nombres carrés, produits d'un nombre et de son retourné.

 

Exclus les nombres en 0 tels que 200 x 2 = 400 = 20²

 

Exclus les nombres palindromes tels que 101 x 101 = 101²

 

 

Table avec le nombre, son retourné, le produit et sa racine carrée

  144

×

 441

=

 63504

=

 252

169

×

 961

=

 162409

=

 403

288

×

 882

=

 254016

=

 504

441

×

 144

=

 63504

=

 252

528

×

 825

=

 435600

=

 660

768

×

 867

=

 665856

=

 816

825

×

 528

=

 435600

=

 660

867

×

 768

=

 665856

=

 816

882

×

 288

=

 254016

=

 504

961

×

 169

=

 162409

=

 403

1089

×

 9801

=

 10673289

=

 3267

1584

×

 4851

=

 7683984

=

 2772

2178

×

 8712

=

 18974736

=

 4356

4851

×

 1584

=

 7683984

=

 2772

8712

×

 2178

=

 18974736

=

 4356

9801

×

 1089

=

 10673289

=

 3267

10404

×

 40401

=

 420332004

=

 20502

10609

×

 90601

=

 961186009

=

 31003

10989

×

 98901

=

 1086823089

=

 32967

12544

×

 44521

=

 558471424

=

 23632

12769

×

 96721

=

 1235030449

=

 35143

13104

×

 40131

=

 525876624

=

 22932

14544

×

 44541

=

 647804304

=

 25452

14884

×

 48841

=

 726949444

=

 26962

15984

×

 48951

=

 782432784

=

 27972

20808

×

 80802

=

 1681328016

=

 41004

 

Brèves associées

>>> Retournés proportionnels

>>> Brèves Sur formes et motifs – Index

Pour en savoir plus

>>> Nombres retournés

>>> Nombres carrés

 

 

 

485.            Palindromes ou Retournés

 

Palindrome: nombres qui se lisent aussi bien de gauche à droite (normal) que de droite à gauche comme: 123321.

 

Palindromes premiers

Il y a 90 palindromes de 1000 à 9999 comme: 1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, 2002, 2112, 2222, 2332, 2442, 2552, 2662, 

Aucun n'est premier; ils sont tous divisibles par 11.

En effet, un nombre est divisible par 11 si la somme des chiffres de rang pair et égale à celle de rang impair. Pour 1551 on a bien: 1 + 5 = 5 + 1

 

 

Nombre et son retourné: le nombre et lui-même, lu à l'envers, comme 1234 et 4321.

 

 

Nombres et retournés premiers

les retournés tels que 1009, ils sont 204 premiers sur les 9000 comme

1009, 1021, 1031, 1033, 1061, 1069, 1091, 1097, 1103, 1109, 1151, 1153, 1181, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 

 

Ne pas confondre les deux notions !

Brèves associées

>>> Nombres palintiples

>>> Type de nombres en brèves – Index

Pour en savoir plus

>>> Palindromes

>>> Retournés

>>> Divisibilité par 11

 

 

486.            Série 1/ (1 – x)

 

 

 

Exemple x = 0,5

 

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64

= 127 / 64 = 1,98…

 

1 + 1/2 + … + 1/10^10 = 1,9990 …

1 + 1/2 + … + 1/10^20 = 1,9999990 …

 

Brèves associées

>>> Suite de Sherlock Holmes

>>> Brèves sur les suites – Index

Pour en savoir plus

>>> Séries en 1 / (1 – x)

>>> Suites et séries

>>> Série harmonique

 

 

487.            Partitions et Pentagonaux

 

Partitions d'un nombre entier n

Ce sont toutes les additions possibles ayant n pour somme. Une des partitions de 5 est 3 + 2.

 

Nombres pentagonaux (généralisés)

Ce sont les nombres de la forme G = 1/2 n(3n  1)

Les premiers de la liste: 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, …

 

Théorème des nombres pentagonaux

Découverte merveilleuse de Leonhard Euler (1717-1783).

 

Ce théorème permet le calcul de la quantité de partitions en se référant aux nombres pentagonaux de la manière indiquée ci-dessous.

Calcul des quantités de partitions par récurrence

Les indices en rouge sont les nombres pentagonaux. Le signe alterne de deux en deux.

 

 

Brèves associées

>>> Partitions et décompositions

>>> Maths en Brèves – Index

Pour en savoir plus

>>> Théorème des nombres pentagonaux

>>> Nombres pentagonaux

>>> Euler

 

 

488.            Diagramme de Ferrers

Manière de présenter toutes les partitions d'un nombre sous forme géométrique. Ici, les sept partitions du  nombre 5.

 

Ce mode de représentation joue un rôle important pour dénombrer les partitions.

 

Par exemple, trouver les partitions strictes, celles avec seulement des nombres distincts.
Ici: 5, 4 + 1 et 3 + 2 (les trois sous la diagonale).

 

Ces partitions strictes comptent une quantité paire ou impaire de lignes. Il se trouve que ces deux quantités sont égales pour tous les nombres qui ne sont pas pentagonaux généralisés.
Voir Chapitre Partitions, juste ci-dessus.

Brèves associées

>>> Partitions strictes

>>> Maths en Brèves – Index

Pour en savoir plus

>>> Diagramme de Ferrers

>>> Nombre 8 avec diagramme de Ferrers

 

 

489.            Nombres polygonaux

 

Les nombres polygonaux jouent à la courte échelle: pour passer d'un nombre pentagonal d'ordre k à celui d'ordre k + 1, il suffit de lui ajouter le nombre triangulaire d'ordre k.

 

 

Exemple

Soit le nombre triangulaire 15 pour n = 5.

Pour n = 6, le triangulaire est 15 + 6 = 21.
Et pour calculer le carré, on ajoute 15 et 21 = 36.
Pour calculer le pentagonal, on ajoute 15 et 36 = 51.

Etc.

 

 

Nombres polygonaux

 

Sur chaque colonne du tableau, on progresse du nombre de tête de la colonne précédente (le triangulaire précédent).

 

Brèves associées

>>> Carrés et hexagonaux

>>> Nombres en Brèves – Index

Pour en savoir plus

>>> Différence entre polygonaux

>>> Nombres polygonaux – Table

 

 

490.            Nombres triangulaires – Formule

 

Sachant que la suite des nombres triangulaires est: 1, 3, 6, 10, 15, 21

Quelle est la formule définissant chacun ?

 

Les écarts sont en progression arithmétique. Il s'agit d'une fonction quadratique; cad. du deuxième degré en ax² + bx + c.

 

Écrivons trois relations avec les nombres connus et résolvons ce système de trois équations à trois inconnues.

 

 

Résolution du système d'équations

(1)

1²a

+ 1b

+ c

= 1

(2)

2²a

+ 2b

+ c

= 3

(3)

3²a

+ 3b

+ c

= 6

(4)=(2)-(1)

3a

+ b

 

= 2

(5)=(3)-(2)

5a

+ b

 

= 3

(6)=(5)-(4)

2a

 

 

= 1

 

a

 

 

= 1/2

 

 

b

 

= 1/2

 

 

 

c

= 0

 

Bilan

Brèves associées

>>> Nombres triangulaires

>>> Brèves de maths – Index

Pour en savoir plus

>>> Nombres triangulaires

>>> Système d'équations

 

 

491.            Puissance de 2 et divisibilité par 3

 

La somme de deux puissances de 2 consécutives est divisible par 3.

 

Une puissance de 2 accolée (concaténée) à la suivante forme un nombre divisible par 3.

 

Exemples

25 = 32 et 26 = 64.

 

La somme 96 est divisible par 3.

Le nombre 3264 est divisible par 3. Vrai aussi en permutant: 6432 est divisible par 3.

Brèves associées

>>> Divisibilité par 8

>>> Brève sur les divisibilités – Index

Pour en savoir plus

>>> Divisibilité par 3

>>> Puissances de 2

 

 

492.            Divisibilité par 3 – Induction 

Propriété: 

Tout nombre en n3 + 2n est divisible par 3.

 

Démonstration par induction

1)    Propriété vraie pour n = 1:
13 + 2x3 = 3, divisible par 3.

 

2)    Hypothèse: vraie pour n:
n3 + 2n est divisible par 3.

 

3)    Calcul pour n = k + 1:
(k + 1)3 + 2 (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 2k + 2
= (k3 + 2k) + 3(k² + k + 1)

 

Or, selon l'hypothèse (k3 + 2k) est divisible par 3.

Le second terme, avec le facteur 3, est divisible par 3.

Donc, toute l'expression est divisible par 3.

 

4)     Propriété vraie pour 0 et vraie pour n+1, lorsque vraie pour n, alors par induction, vraie tout le temps

Brèves associées

>>> Divisibilité de An – Bn

>>> Brève sur les divisibilités – Index

Pour en savoir plus

>>> Divisibilité par 3

>>> Démonstrations par induction

 

 

493.            Année 2016 – Minimale  

2016 = 720 + 1296

 

Cette propriété permet de résoudre le défi de la somme minimale pour les années autour de 2016.

 

Par exemple, il suffit des quatre premiers chiffres, dans l'ordre, pour arriver à 2016.
On remplace 6 par 3!, car factorielle 3 = 1 x 2 x 3.

 

Brèves associées

>>> Année 2018 et ses chiffres

>>> Brèves Jeux – Index

Pour en savoir plus

>>> Nombre 2016

>>>  Année 2016

>>> Jeu de la somme minimale

>>> Factorielle

 

 

494.            Puissances de consécutifs  

Sommes de consécutifs

1 + 2 + 3 + 4       = 10

2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20

4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30

6 + 7 + 8 + 9       = 30

Mêmes somme avec puissance qui suit

(1 + 2 + 3 + 4)5       =                        100 000

(2 + 3 + 4 + 5 + 6)7 =             1 280 000 000

(4 + 5 + 6 + 7 + 8)9 = 590 490 000 000 000

(6 + 7 + 8 + 9)10      = 590 490 000 000 000

Brèves associées

>>> Nombres pannuériques

>>> Brèves Motifs – Index

Pour en savoir plus

>>> Puissances avec des consécutifs

>>> Puissances

 

 

495.            Multiplications avec les doigts  

 

Ce sont les tables de multiplications après 5 qui sont les plus difficiles à retenir. Voici un vieux truc utilisant les doigts.

 

Procédé

1.    Numérotez les doigts de 6 à 10.

2.    Pour multiplier 7 par 8, faites toucher les doigts 7 et 8.

3.    La quantité de doigts en bas donne les dizaines.

4.    Le produit des doigts en haut donne les unités.

   

Brèves associées

>>>  Multiplication par 9 – Avec les doigts

>>> Brèves Calculs – Index

Pour en savoir plus

>>> Multiplications avec les doigts

>>> Tables de multiplication

 

 

496.            Centre de gravité du quadrilatère  

Le point M, intersection des médianes (bleues), est le centre géométrique du quadrilatère. C'est le centre de gravité des quatre sommets (cad. le centre de gravité d'un objet vide avec une masse identique située sur chacun des sommets).

 

Le point G est le centre de gravité du quadrilatère (objet matériel de masse homogène répartie sur toute la surface). Sa localisation n'est pas simple (Voir le lien: en savoir plus).

 

En règle générale, les points M et G sont distincts.

 

Brèves associées

>>> Carré divisé – Aire manquante

>>> Brèves géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Quadrilatère et ses "milieux"

>>> Centre de gravité

 

 

497.            Battre les cartes  

 

Mélanger les cartes 6 fois suffit pour disposer des cartes réparties aléatoirement.

 

Le mélange américain (riffle shuffle) est le plus efficace: couper le paquet en deux et regrouper les deux paquets en intercalant leurs cartes respectives.

 

Il y a une transition abrupte entre 6 et 8 mélanges: moins de 6 et c'est mal mélangé, plus de 8 et c'est parfait.

Ce phénomène a été mis en évidence dans de nombreux processus aléatoires. L'état d’équilibre est atteint non pas progressivement, mais de manière abrupte.

 

Avec une mélange par coupes successives à la française, il faudrait 10 000 opérations pour atteindre la perfection.

En prenant la carte du dessus et en l'insérant n'importe où dans le paquet, 205 opérations (en moyenne: n log n) sont nécessaires.

 

Brèves associées

>>> Énigme du parking

>>> Brèves Jeux – Index

Pour en savoir plus

>>> Cartes et hasard

>>> Réussite aux cartes

 

 

498.            Théorème de Ptolémée

Théorème

 

Pour un quadrilatère inscrit, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés:

 

 

 

Cas du rectangle

Avec a = c, b = d et m = n, alors:

 

Le théorème de Pythagore est un cas particulier du théorème de Ptolémée.

 

Pythagore (-580 à -495)

Ptolémée (v.100 à v168)

Brèves associées

>>> Th. de Pythagore – Visuel

>>> Ptolémée et nombre d'or

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Théorème de Ptolémée

>>> Ce théorème en trigonométrie

 

 

499.            Factorielles et carrés

Produit de trois factorielles consécutives.
4! x 5! x 6! = 2 073 600 = 1 440²

 

Le tableau montre la construction du carré final.

En jaune un carré naturel et en rose un carré plus inattendu:
2 x 3 x 4 x 6 = 6! / 5 = 720 / 5 = 144 = 12²

Brèves associées

>>> Pépites numériques

>>> Brèves Motifs – Index

Pour en savoir plus

>>> Factorielles et carrés

>>> Carrés

>>> Factorielles

 

 

 

 

 

Retour

*         Brèves de maths – Page 24

Suite

*         Brèves de maths – Page 26

Voir

*         Voir liens en haut de page

Cette page

http://DicoNombre.pagesperso-orange.fr/aBreves/Breve25.htm