NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BRÈVES de MATHS – Page 26

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

500.            Carré anti-magique

Carré anti-magique

Une grille n x n avec les nombres de1 à n². Les sommes sur les lignes, les colonnes et les diagonales forment une suite continue de nombres.

Aucun carré anti-magique d'ordre 3

Aucune possibilité avec huit nombres consécutifs pour l'ordre 3.

Le plus petit carré magique est d'ordre 4.

Ils sont 299 710.

 

Voici deux exemples:

*    Nombres de 1 à 16

*    Sommes de  29 à 38 (dix nombres consécutifs)

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501.            Parallélogramme divisé

 

Énigme

Avec ces seules indications d'aires, déterminer l'aire x du triangle jaune.

 Figure non réaliste, ne cherchez pas à mesurer.

 

Solution

La propriété des aires dans le parallélogramme divisé en triangles inscrits permet d'écrire ces deux égalités (A est l'aire du parallélogramme):

A/2 = 8 + d + 100 + f

A/2 = 10 + d + 90 + x + f

En comparant:

10 + d + 90 + x + f  = 8 + d + 100 + f

x + 100 = 108   et      x = 8

 

 

L'aire x du triangle jaune est facilement déductible à partir des quatre aires indiquées.

Cela, à condition de bien connaitre la propriété de l'aire du triangle inscrit dans le parallélogramme.

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502.            Cercle de Conway

 

Triangle quelconque ABC.

Prolonger les côtés et y déposer:

 

*      Triangle isocèle en A de côté a (AFG).

*      Triangle isocèle en B de côté b (BIJ).

*      Triangle isocèle en C de côté c (CDE).

 

Les six sommets DEFGIJ des bases des triangles isocèles sont cocycliques.

 

Ce cercle est le cercle de Conway du triangle ABC. Les sommets forment un hexagone dont les côtés sont parallèles deux à deux. Les trois diagonales (côtés prolongés) sont de même longueur.

 

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503.            Hexagonaux et carrés (1/2)

 

Nom hexagonaux du 2e ordre

Ce sont les nombres de la forme:
n (2n + 1) comme:
3, 10, 21, 36, 55, 78, 105, …

 

Égalités de sommes de carrés

Ces nombres (ici, notés H) sont le point de départ des égalités indiquées dans le tableau.

 

H² + (H+1)² + …+ (H+n)² = (H+n+1)²+ … (H+2n

 

http://villemin.gerard.free.fr/Magie/pepite_fichiers/image060.jpg

 

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504.            Hexagonaux et carrés (2/2)

 

Nom hexagonaux (ordinaire)

Ce sont les nombres de la forme:
n (2n – 1) comme:
6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, …

 

Égalités de sommes de carrés

Ces nombres (ici, notés H) sont le point de départ des égalités indiquées dans le tableau.

Dans la succession des nombres, le premier du second membre est remplacé par n².

 

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505.            Triangulaires et carrés

 

Observation

Avec le produit de deux nombres consécutifs, on atteint le carré des nombres impairs.

 

Propriété

Le produit de deux nombres consécutifs, multiplié par 4, est égal à un carré moins 1.

 

Le carré (S) d'un nombre impair est égal à huit fois un triangulaire (T) plus 1.

 

Cette propriété était connue de Plutarque et de Diophante au début de notre ère.

 

Formulation

4 n(n+1) + 1 = 4n² + 4n + 1 = (2n + 1)²

 

S2n+1 = 8 . Tn +  1

 

Le carré du nombre 2n + 1 est égal à huit fois

le nombre triangulaire de rang n plus 1, sachant que le triangulaire de rang n vaut 1/2 n(n+1).

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506.            Les nombre 4 et 8 en Chine

Le quatre se prononce si en mandarin et sei en cantonnais. Prononciation proche de celle du mot mort. D'où le fait que le nombre quatre passe pour porter malheur  en Chine.

Le huit se prononce ba en mandarin et baat en cantonnais. Prononciation proche de celle de fa, la richesse. D'où le fait que le nombre huit passe pour porter bonheur en Chine.

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507.            Bâton de comptage partagé

 

Comment authentifier un prêt ?

 

Autrefois, on utilisait un bout de bois sur lequel on gravait un code représentant la somme prêtée.

 

Prêteur et emprunteur se mettaient d'accord sur la somme. Les entailles indiquaient le montant. Par exemple une largeur de paume  pour 1000 unités.

Le bâton était partagé en deux. Chacun en gardant une moitié.

Lors du remboursement, le prêteur vérifiait que les entailles correspondaient et que le grain du bois était bien identique.

 

Anglais: split tally stick

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Image d'après: 100 infos insolites sur les nombres, les ordinateurs et les codes – Usborne Publishing Ltd - 2019

 

 

508.            Th. de Ptolémée et nombre d'or

 

On considère un pentagone régulier et un trapèze isocèle formé de trois côtés et une diagonale.

 

Application du théorème de Ptolémée:

a.a + a.d = d.d

d² – a.d – a² = 0

 

En divisant par a² (différent de 0):

Avec x = d/a

x² – x – 1 = 0

 

C'est l'équation du nombre d'or.

La solution positive vaut:

 

 

Théorème de Ptolémée: dans un quadrilatère, ici le trapèze, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.

 

d / a  = nombre d'or

 

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509.            Nombres automorphes

 

Ce sont les nombres qui se répliquent dans les derniers chiffres de leur carré: 25² = 625.

 

Pour tout k > 1, il existe deux nombres automorphes avec k chiffres.

 

Par exemple: avec deux chiffres on a 25 et 76 qui ont 625 et 5776 comme carrés.

 

  k     a              b      

 

Les nombres s'enchainent: il suffit de retirer un chiffre à gauche pour trouver le plus petit suivant.

Exemple: 90625, 0625, 625, 25 et 09376, 9376, 376, 76.

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510.            Produit de nombres consécutifs

 

Théorème général

 

Le produit de k nombres consécutifs

est divisible par k!

 

Exemple: 10 x 11 x 12 x 13 est divisible par 1 x 2 x 3 x 4  = 24 car 10 est divisible par 2 et 12 l'est par 3 et par 4

 

En effet: (10 x 11 x 12 x 13) / 4! = 17 160 / 24 = 715

En plus, ce nombre est divisible par quantité d'autres nombres (64 diviseurs).

 

Autre exemple

(6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11) / 6! = 332 640 / 720 = 462

 

 

Théorème d'Erdös et Selfridge (1975)

 

Le produit de k nombres consécutifs

n'est jamais une puissance parfaite.

 

Exemple: le produit de trois nombres consécutifs n'est jamais un carré ni un cube.

 

Deux factorielles

Le produit de deux factorielles n'est carré que si l'un des nombres est un carré et l'autre est son prédécesseur.

 

Exemple avec 4 = 2² et 3

3! x 4! = 3! x (3! x 4) = 3!² x 2² = (3! x 2)² = 12² = 144

 

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511.            Intersections de cercles

 

Approche

Combien de régions sont créées au maximum par l'intersection de k cercles?

La figure montre qu'avec trois cercles, il a possibilité de créer 8 régions.

 

 

Dénombrement

D'une manière générale, avec k cercles, la quantité de régions est donnée par la formule:

Q = n² - n + 2

Avec ces 12 cercles, il y a 134 régions.

 

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512.            Puissances des chiffres

 

Nombres égaux à la somme des puissances successives de leurs chiffres.

Comme: 89 = 81 + 92 ou 135 = 11 + 32 +53.

 

Les dix seuls nombres parfaits en puissances de leurs chiffres:

89;   135;   175;   518;   598;   1 306;   1 676;   2 427;   2 646 798 et 12 157 692 622 039 623 539.

 

 

Le plus grand : 1, 2157…1019

 

12 157 692 622 039 623 539 =

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513.            Somme de fractions

 

Calcul de cette somme

La somme est posée

Les dénominateurs sont identifiés (2, 6, 12 et 20).

Quel est le PGCD d ces quatre nombres ?

Les facteurs sont identifiés pour chacun.

Avec 2², 3 et 5, on forme le PGCD 60

Toutes les fractions sont mises à ce m^me dénominateur.

les numérateurs deviennent: 30, 10, 5 et 3 dont la somme vaut 60.

La somme est donc la fraction 48/60, simplifiée en 4/5 = 0,8.

 

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514.            Somme de consécutifs

 

Théorème

La somme de k + 1 nombres successifs

à partir de k²

est égale à la somme des k suivants.

 

 

Exemple pour k = 2

Nombre de tête: 2² = 4.

2 + 1 = 3 nombres à gauche: 4 + 5 + 6.

3 nombres suivants à droite: 7 + 8.

Soit l'égalité: 4 + 5 + 6 = 7 + 8 = 15.

 

 

 

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515.            Nombres fourchettes

 

 

 

Définition

Nombres fourchettes (ou gapful numbers): ce sont ceux qui sont divisibles par le nombre formé par la concaténation de leurs deux chiffres extrêmes.

 

Exemple: 192 est divisible par 12.

 

Note: excellent pour exercice de programmation

   

 

Les premiers

100, 105, 108, 110, 120, 121, 130, 132, 135, 140,…

 

Les nombres inférieurs à 100 sont trivialement fourchettes. Ceux divisibles par 10 le sont également.

 

Les premiers, sans les divisibles par 10

105, 108, 121, 132, 135, 143, 154, 

165, 176, 187, 192, 195, 198, 225,

 

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516.            Mère et fille: âges ?

 

Énigme

Mère et fille totalisent 50 ans.

La mère à 20 ans de plus que sa fille. Quel est son âge ?

 

Solution par raisonnement

Si l'âge moyen est 50 / 2 = 25, chacune se partage l'écart, soit 20/2 = 10 ans chacune.

 

La mère a 25 + 10 = 35 ans.

La fille a 25 – 10 = 15 ans.

 

 

 

Solution en image

Le total des âges est égal à l'écart + deux fois l'âge de la fille.

 

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517.            Partitions des impairs

 

Théorème

Seuls les nombres impairs divisibles par k sont sommes de k impairs consécutifs.

Le nombre central est égal au quotient.

 

Exemple

Le nombre 45 est divisible par 5, il est la somme de cinq nombres impairs consécutifs autour de 9: 
5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45

 

Exemple de toutes les sommes avec 45

 

Voir Nombre 45

 

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518.            Compter les partitions

 

Une notation consiste à composer un polynôme dont les coefficients expriment la quantité de partitions du nombre n mis en exposant.

 

Ex: Avec que des "2", on aura une partition possible avec les nombres pairs et aucune avec les impairs.

 

Le polynôme développé indique qu'il y a, par exemple, 15 partitions du nombre 7.

 

Contribution de chaque nombre

Que des "1" => 1 + x + x2 + x3 + x4 + …

Que des "2" => 1 + x2 + x4 + x6 + …

Que des "k" => 1 + xk + x2k + x3k + …

 

Tous les nombres

(1 + x + x2 + x3 + x4 + …) (1 + x2 + x4 + x6 + …)  (…) (1 + xk + x2k + x3k + …) ( …

 

Développement

1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 + 11x6 + 15x7 + …

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519.            Diagonales des polygones

 

Triangle

Carré

Pentagone

Hexagone

Heptagone

Octogone

Diagonales

0

2

5

9

14

20

Intersections

0

1

5

13

35

49

Régions

1

4

11

24

50

80

Triangles

1

8

35

110

287

632

   

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