NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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BRÈVES de MATHS – Page 27

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

520.            Année 2020 et palindromes

 

Cette date constitue un palindrome en l'écrivant à l'européenne comme à l'américaine. Rare.

Certains cherchons le raffinement avec le 2 février 2020 à 02 h 02 minutes 20 secondes et 20 centièmes:

02 02  2020 02 02 20 20

 

Extraordinaire, du fait que 2020 est bissextile: le 2 février est le 33e jour de l'année et il reste 333 jours pour finir l'année.

 

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521.            Journée internationale des Maths

 

C'est le 14 mars, car, chez les Américains on écrit la date comme ceci: 3/14, ce qui rappelle le fameux nombre Pi = 3,14159 …

L'IDM (International Day of Mathematics) a été fixé par l'UNESCO en novembre 2019.

Il y a plus de trente ans, c'est Larry Shaw, physicien américain qui a associé cette date à la constante Pi.

 

Note: Albert Einstein est né le 14 mars 1879 à Ulm.

Le 14 mars 2018 mourrait Stephen Hawking.

 

 

Many mathematicians throughout history have tried to move beyond mere approximation in an effort to nail down the exact numeric equivalence of pi, but the solution remains a mystery.

De nombreux mathématiciens au cours de l'histoire ont tenté de dépasser la simple approximation dans le but de déterminer l'équivalence numérique exacte de pi, mais la solution reste un mystère.

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522.            Carré tronqué à restituer

 

Comment obtenir un carré à partir d'un développement tronqué.

Les exemples aideront à comprendre la manière de s'y prendre

 

Cas où a est un carré

4m² – 4m = ?

4m² – 4m + b² = (ax – b)²

               = ax² – 2axb + b²

4m² – 4m = (2m – 1)² + 1

 

Cas où a n'est pas un carré

5n² – 3n = ?

25n² – 15n + b² = (ax – b)²

               = ax² – 2axb + b²

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523.            Nombres consécutifs

 

Théorème

La somme de plus de deux nombres consécutifs n'est jamais un nombre premier.

 

Si k, la quantité de nombres, est impaire, la somme est divisible par k.

Ex avec k = 3: 12 + 13 + 14 = 39 = 3 x 13

 

Si k est pair, la somme est divisible par k/2.

Ex avec k = 6: 2+3+4+5+6+7 = 27 = 3 x 9

 

 

 

 

Démonstration

La somme de k nombres à partir de n est égale k fois le nombre n et des suppléments qui représentent la somme de k nombres entiers:

Ex: 10 + 11 + 12 + 13 = 4 x 10 + (0 + 1 + 2 + 3) = 46

Formellement:

Si k est impair, k-1 est pair est (k-1)/2 est un entier (a).

Si k est pair, k/2 est un entier (b).

Dans les deux cas, la somme est le produit de deux facteurs, il est composé à condition que k > 2.

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524.            Somme de produits d'inverses

 

Propriété

La somme des inverses des produits de deux nombres consécutifs est simplement égale au nombre divisé par son successeur.

 

Exemple pour n = 4

 

Astuce !

 

Avec l'exemple numérique

Chaque terme négatif est annulé par le terme suivant. Phénomène de cascade.

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525.            FORT BOYARD – Septembre 2020

 

Devinette

Dans ce restaurant, plat et boisson coûtent 11€.

Le plat coûte 10 euros de plus que la boisson.

Combien coûte la boisson: 0,50€,  1€   ou   2€.

 

Réponse faite durant le jeu

C'est 1 €.  La candidate a reçu des litres de liquide slime* sur la tête, synonyme de mauvaise réponse.

*Pâte gluante et élastique

 

Piège

Ce qui est d'un côté, l'est le l'autre.

Ce qui est plus, l'est en moins.

 

Il faut partager le 1 euro en deux.

La réponse est 0,50 euro.

 

Pas convaincu !

Pourtant avec Boisson = 0,50 et Plat  = 10,50, on a bien une différence de 10 et un total de 11.

 

 

Illustration

 

Petite équation pour confirmation

Coût total:

P + B

= 11

Comparaison:

P

= B + 10

On ajoute les deux:

2P + B

= B + 21

Soustraction de B:

Division par 2:

2P

P

= 21

= 10,5

 

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526.            Pile ou face

 

Énigme

Vous lancez une pièce de 1 euro trois fois. Quelle est la probabilité de tomber sur deux faces, au moins ?

If you flip a coin 3 times, what is the probability of flipping at least 2 Heads ?

 

Observations

Certains vont dire qu'à chaque jet, on a 1 chance sur 2 d'avoir face (comme d'avoir pile). Pour en avoir 2, il suffit que deux jets soient bons. J'ajoute les chances: 1/2 + 1/2 = 1/4 = 25%.

Ce n'est pas la bonne réponse ! Beaucoup imagine malgré tout que c'est moins de 50%.

 

Réponse

Le mieux pour s'en convaincre est de recenser les possibilités.

L'illustration monte qu'il y a 8 cas possibles et, en rouge, 4 cas avec au moins 2 faces; le dernier en comportant 3.

Ce dernier cas est inattendu. Il ne faut pas l'oublier.

 

Dénombrement

Supposons que nous lancions 3 pièces en une fois, ce qui revient au même que 3 lancers successifs.

Nous sommes dans le cas d'une combinaison de 2 parmi 3 à ajouter à une combinaison de 3 parmi 3.

La somme vaut 3 + 1 = 4

La totalité des cas est 23  = 8 (2 cas avec la première, et pour chaque cas, 2 cas pour la deuxième, puis encore à chaque cas, 2 cas pour la troisième: 2 x 2 x 2 = 8

Probabilité = cas favorables / tous les cas = 4/8 = 1/2  = 50%

 

Cas possibles lors du lancer de trois pièces

Huit combinaisons dont 3 avec deux faces et 1 avec 3 faces.

Total: 4 sur 8 = 50%

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527.            Diagonales de l'octogone

 

TROIS CONSTANTES

 

Dans le cercle, PI

 

Dans le pentagone, le nombre d'or

 

Dans l'octogone, le nombre d'argent
(diamètre du cercle inscrit)

  

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528.            Construire une fraction

Formulation

Dans le triangle DGE, application du théorème de Thalès:

 

Application

On se propose de construire une longueur égale à 5,8.

Le dénominateur est choisi pour faire u + v, sachant que u et v sont les multiplicateurs de deux nombres au numérateur.

  

 

 

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529.            Motifs avec retournement

 

Motif: n + k = R(n x k)

Nombre qui multiplié par k et retourné donne le même nombre qu'en ajoutant k.

*      Avec k = 2, 5 ou 15, on obtient des motifs itératifs. Seul cas sans 0, avec k = 2.

*      Avec k = 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14,15, 16, 17, 19, 20 … pas de motif du tout.

 

Un motif itératif

k = 2

+

x

47

49

94

497

499

994

4997

4999

9994

49…97

49…99

9…994

 

k = 5

+

x

26

31

130

386

391

1930

3986

3991

199930

39…986

39…91

19…9930

  

 

Plusieurs motifs itératifs

k = 15

+

x

228

243

3420

624

639

9360

2568

2583

38520

25968

25983

389520

216408

216423

3246120

259968

259983

3899520

2160408

2160423

32406120

2599968

2599983

38999520

6081204

6081219

91218060

 

Un seul motif

k = 3

24

27

72

k = 8

455

463

3640

k = 9

9

18

81

k = 11

110

121

1210

k = 18

17595

17613

316710

k = 21

600

621

12600

  

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530.            Racine de n – Construction

 

Tout nombre est somme de quatre carrés.

Prenons le nombre 15:
15 = 1² + 1² + 2² + 3² = a² + b² + c² + d²
     = u² + v²
avec u² = a² + b² et v² = c² + d².

 

Construction

Disposer les quatre nombres (a, b, c et d) sur les axes comme indiqué.

Reporter les longueurs des diagonales bleues (u et v) sur les axes (arcs verts).

Le segment (rose) qui joint les intersections avec les axes est la racine de n (ici n = 15)

 

Justification

 

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531.            Les trois tuyaux - Énigme

 

Problème

On dispose de trois tuyaux de débit constant pour remplir la piscine.

Avec les deux premiers, utilisés simultanément, il faut le même temps que pour la remplir avec le 3e seul.

Le 2e tuyau la remplit en 5 heures de moins que le premier et en 4 heures de plus que le 3e.

Quelle est la durée de remplissage pour chaque tuyau seul ?

 

Relations

 

 

t = t2 = 10 heures

t1 = 15 h et t3 = 6 h.

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532.            Grille 8x8 et 3 points

 

Sur une grille de 8 x 8 points, disposés régulièrement, on souhaite dessiner les droites qui passent par trois points, mais uniquement trois points.

 

Le dénombrement n'est pas simple, mais il se trouve qu'il y a exactement 100 telles droites.

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533.            Nombres premiers et 30

 

On note n#  la primorielle de n, qui est le produit des nombres premiers inférieurs à n ou égal à n.

Tous les nombres plus grands que n# sont évidemment de la forme n#. k + i pour i prenant toutes les valeurs inférieures à n#.

Certaines valeurs de i conduisent à des nombres composés facilement reconnaissables.

 

 

Avec 6#, par exemple, on a 6# = 2 x 3 x 5 = 30.

Or, tout nombre est de la forme 30k + i avec i = {0, 1, 2, 3…, 29}.

Tous ceux avec i divisible par 2, 3 ou 5 sont composés.

Pour qu'un nombre soit premier, il ne reste que i = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}.

Ce sont d'ailleurs les nombres i tels que PGCD (1, 30) = 1; autrement dit: i est premier avec 30.

 

Bilan: tous les nombres premiers sont de la forme 30k + i avec i = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. Mais tous les nombres de cette forme ne sont pas premiers.

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534.            Somme de carrés en PA

 

Comment calculer la somme suivante d'une manière générale ?
S = 5² + 11² + 17² + 23² = 964

Somme de carrés en progression arithmétique (PA).

 

Notations et exemple

Le premier terme: F = 5 (comme First)

Le dernier:              L = 23 = F + (n – 1) r

La quantité de termes:           n = 4

La raison de la progression: r = 6

 

 

Formule

 

Calcul numérique
L = F + (n – 1) r = 5 + 3x6 = 23
S = 5 x 23 x 4 + 1/6 (3x4x7) x 6²
S = 460 + 504 = 964

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535.            Somme des cubes en PA

 

Comment calculer la somme suivante d'une manière générale ?
S = 53 + 113 + 173 + 233 = 18 536

Somme de cubes en progression arithmétique (PA).

 

Exemple

F = 5     L = 23 = F + (n-1) r

n = 4     r = 6

 

Formule

 

Calcul numérique
L = F + (n – 1) r = 5 + 3x6 = 23
T = 1/2  4 (5+23) = 56
S = 6 x 56² + 56 x 5 x (5 – 6)
S = 18 816 – 280 = 18 536

 

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536.            Divisibilité par 137

 

Divisibilité par 11

On connait le procédé pour tester si un nombre est divisible par 11.

La somme alternée des chiffres doit être divisible par 11 (nulle).

 

Exemples
121 => 1 – 2 + 1 = 0
135 795 => 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 5 = 0
244 442 => 2 – 4 + 4 – 4 + 4 – 2 = 0

 

Généralisation

On généralise à d'autres cas, en prenant des tranches de 2, 3, 4 … chiffres.

C'est le cas pour 137 avec des tranches de quatre chiffres.

 

 

Divisibilité par 137

Pour 137, comme pour 73, on sépare le nombre en tranches de quatre chiffres. La somme alternée doit être divisible par 137.

 

Exemples

 

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537.            Nombre 12345679

 

Ce nombre (tous les chiffres sauf 8) est le nombre de Lewis Carroll.

Il divise les nombres ayant neuf chiffres répétés (repdigits).

 

On le retrouve dans la division par 80:

 

1

× 9

× 12 345 679

= 111 111 111

2

9

12 345 679

222 222 222

3

9

12 345 679

333 333 333

4

9

12 345 679

444 444 444

5

9

12 345 679

555 555 555

6

9

12 345 679

666 666 666

7

9

12 345 679

777 777 777

8

9

12 345 679

888 888 888

9

9

12 345 679

999 999 999

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538.            Puzzle du Quatre 4

 

Principe

Ce puzzle est assez ancien et a fait réfléchir beaucoup de monde.

Écrire un maximum de nombres successifs en utilisant seulement quatre fois le chiffre 4.

 

 

Les onze premiers nombres

Cas du nombre 100

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539.            Nombre 42  

 

Le nombre décimal 42 s'écrit avec un "10" répété trois fois en binaire.

Autrement-dit: il est la somme des premières puissances impaires de 2 et le double des premières puissances de 4.

 

Les nombres en 1010 … en binaire (10 répété k fois) sont accessibles par la formule indiquée.

 

Dans un roman, le nombre 42 est la réponse de l'ordinateur qui ne connait pas la réponse à la question sur la vie … >>>
 

 

Nombres en 1010 … binaire ou 222 … en base 4

 

Formule pour tous ces nombres (k répétitions)

Liste de ces nombres

0, 2, 10, 42, 170, 682, 2730, 10922, 43690, …

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