NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BRÈVES de MATHS – Page 28

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

540.            Diagonales des polygones

Pour un polygone régulier à n côtés de longueur a, la longueur de la diagonale k se calcule avec cette formule.

Avec k la quantité de côtés interceptés par la diagonale.

 

Longueur pour un côté unité

Carré

k = 2

1,414213562

Racine de 2

Pentagone

2

1,618033989

Nombre d'or

Hexagone

2

1,732050808

Racine de 3

 

3

2

Nombre 2

Heptagone

2

1,801937735

 

 

3

2,246979603

 

 

Illustration avec a = 10

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541.            Nombre 1001 – Magie

 

Pensez à un nombre de trois chiffres. Vous le répétez

 

Montrez sa magie en le divisant par 11, puis par 13, puis par 7.

 

Vous retrouvez le nombre initial. 

Exemple

456

456456

 / 11 = 41 496

 / 13 = 3 192

 /   7 = 456

Le secret

 

7 x 11 x 13 = 1001

abc x 1001

       = 1000abc + abc

       = abcabc

 

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542.            Nombres Pavés

 

On s'intéresse à la somme des produits des trois nombres entiers a, b et c:
N = ab + bc + ca.

 

C'est en fait la moitié de l'aire (S) des six surfaces du pavé droit.

 

Quelles sont les valeurs de S ? A priori toutes les valeurs jusqu'à l'infini.

Eh bien, non ! Il existe exactement dix-huit nombres qui résistent: ils ne sont jamais le résultat du calcul de cette formule pour a, b, c positifs.

 

S = aire des faces du pavé = 2 (ab + bc + ca)

 

Cette aire n'est jamais l'un de ces nombres:

{2, 4, 8, 12, 20, 36, 44, 60, 84, 116, 140, 156, 204, 260, 380, 420, 660, 924}

 

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543.            Nombre 1 / 103

 

Toutes les fractions avec 103 au dénominateur possèdent 34 décimales répétitives en trois suites permutées.

Le plus petit nombre avec trois suites de chiffres.

 

Chaque fraction développée présente l'une des trois séries de chiffres avec permutations circulaires de ceux- ci.

Voir les exemples avec 1000/103 et suivants.

 

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544.            Algorithme 196

 

Algorithme

Le procédé consiste à additionner un nombre et son retourné et recommencer avec la somme jusqu'à trouver un palindrome.

 

Exemple en deux itérations

 

 

 

Possible ?

Oui, la plupart des nombres se  prêtent à ce jeu en plus ou moins d'opérations (itérations). Le nombre 177, par exemple,  nécessitera 15 itérations:

177, 948, 1797, 9768, 18447, 92928, 175857, 934428, 1758867, 9447438, 17794887, 96644658, 182289327, 906271608, 1712444217, 8836886388

 

Cas de 196

À ce jour, les milliards d'itérations n'ont pas permis de trouver un palindrome. C'est le plus petit nombre dans ce cas. Il y a en a d'autres: 295, 394 … 879, … 1997 …

 

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545.            Régions externes des polygones

 

Combien de régions polygonales sont formées par le prolongement des côtés d'un polygone, ici un dodécagone (rouge) ?

La figure de droite montre le principe du dénombrement:

*      trait rouge issu du sommet:
     3 régions dont une ouverte, et

*      trait noir issu du côté:
      3 régions dont une ouverte.

Bilan: 12 fois (3 + 3) + la région centrale
= 73 régions polygonales dont 49 fermées.

 

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546.            Pentagone Meccano

 

Défi

Il s'agit d'un défi numérique.  Comment rigidifier le pentagone en utilisant des barres, trouées régulièrement du style de celles du jeu de construction Meccano.

Autrement-dit : trouver un montage tel que toutes les longueurs soient des nombres entiers.

 

Magie du nombre d'or

On sait que le nombre d'or se niche dans le pentagone.

Ici, un calcul fait intervenir ses puissances et finissent par donner des nombres entiers malgré le caractère irrationnel du nombre d'or.

 

 

 

Côté du pentagone: 3 (pour 4 trous)

Fixation sur barres bleues: 12 et 4

Longueur sur barres vertes: 11

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547.            Procédé de Kaprekar

 

Procédé itératif qui consiste à ordonner les chiffres d'un nombre par ordre décroissant  (Max) et également par ordre croissant (Min) et à effectuer leur soustraction (D = Max – Min).

La différence (D) est soumise à nouveau à ce même procédé.

 

Exemple

Par ce procédé le nombre 14 devient 27, puis 45 puis 9 puis 0 et le procédé prend fin.

*      Le cycle de Kaprekar de 14 est: [14, 27, 45, 9, 0].

*      Le cycle de Kaprekar de 41 est le même.

*      La longueur du cycle est égale à 5.

*      Le nombre final est 0.

*      Observez que 14 devient 27 = 9(41); un multiple de 9.

 

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Kaprekar_fichiers/image015.jpg

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548.            Cycle des chiffres au carré

 

Mise en évidence de la destinée des nombres par calcul de la racine additive au carré.

Celle-ci consiste, comme pour la preuve par neuf à ajouter les chiffres, mais au carré.

On applique le même calcul de manière itérative sur les chiffres du résultat.

 

Exemple avec 4

Avec le nombre 4 au départ, le procédé conduit à un cycle revenant sur le nombre 4 lui-même.
4² = 16
1² + 6² = 1 + 36 = 37
3² + 7² = 9 + 49 = 58
etc.

Règle générale
Tout nombre le procédé se termine par une boucle en 4, ou alors il finit par le nombre 1.

 

Le cycle en 4

 

La fin en 1

Avec 31, on aurait: 3² + 1² = 10 et 1² + 0² = 1 et Arrêt.

Essayez avec le nombre tout simple: 1112.

 

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549.            Cycle 3x + 1 – Syracuse 

 

Séquence

Il s'agit d'une séquence très simple d'opérations sur les nombres qui ramène toujours au même endroit, le nombre 1.

D'abord un amusement, cette étonnante suite est devenue troublante pour les mathématiciens qui ne se lassent pas de l'explorer sans avoir encore réussi à la domestiquer.

 

Exemple avec 5 au départ

5 impair => 3 x 5 + 1 = 16

16 pair => 8, puis 4, 2, 1

 

Conjecture 

Pour tout nombre, la fin de cycle est 1.

  

Règle du jeu

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550.            Caractérisation des carrés 

 

Un nombre n'est pas un carré s'il  ne se termine pas par:

*      00,

*      01, 21, 41, 61, 81,

*      04, 24, 64, 84,

*      25

*      16, 36, 56, 76, 96

*      09, 29, 49, 69, 89

Les nombres qui se terminent de la sorte sont susceptibles d'être carrés.

 

De 1 à 100, ce sont (en rouge, les vrais carrés):
1, 4, 9, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96, 100

 

Critère de reconnaissance d'un possible carré

 

Un critère supplémentaire: la racine numérique d'un carré ne peut être que: {1, 4, 7, 9}.

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551.            "Premiers" nombres premiers 

 

Os d'Ishango

Les plus anciennes traces des nombres premiers ont été trouvées près du lac Édouard au Zaïre (Congo), non loin des sources du Nil. Il s'agit d'un os de plus de 20 000 ans, appelé l'os d'Ishango, découvert en 1950.

Cet os qualifié de «plus vieil objet mathématiques de l'humanité», exposé au Muséum des sciences naturelles de Bruxelles, est recouvert d'entailles représentant les nombres 11, 13, 17 et 19 (avec beaucoup d'imagination !). Ces nombres sont premiers : est-ce un hasard ou l'ébauche d'une table de nombres premiers ? La question reste ouverte.

  

Les Grecs

Le grec Pythagore (-580 à -490)  fonde l’école Pythagoricienne qui va durer environ 10 générations. Ces passionnés par l'Arithmétique étudient la notion de diviseur et découvrent les nombres parfaits.

Sans lui donner ce nom, les nombres premiers devaient donc être connus par Pythagore et ses adeptes.

Dans les écrits de Philolaos (env. -470 à -390), les nombres premiers sont cités comme une classe particulière de nombres.

La première allusion concrète aux nombres premiers est faite par Aristote (-384 à -322) dans un passage de ses Seconds analytiques. Dans la Métaphysique, il distingue le composé et l'incomposé et "l'incomposé vient avant le composé".

Savants arabes

Le grand savant arabe, Ibn al-HAYTHAM ou ALHAZEN (né à Bassora en Irak actuelle en 965, mort au Caire en 1039) établit que :

si p est un nombre premier alors n = (p – 1)! + 1 est divisible par p.

Cette propriété est connue sous le nom de théorème de Wilson.

 

Exemple  avec p = 7:

                  6! = 720, et 721 / 7 = 103.

Soit le tableau:

p = 2

n = 2

n / p = 1

3

3

1

5

25

5

7

721

103

11

3628801

329891

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552.            Date Palindrome 

 

Dates dont les nombres concaténés forment un palindrome.

 

Format: les jours et les mois sont écrits avec quatre chiffres en ajoutant des 0 si nécessaire ou alors seul le mois est complété à deux chiffres. Il existe aussi le format américain avec l'année en tête, format bien pratique pour le classement chronologique.

 

Avec le format 01 02 2021, il a 145 dates palindromes jusqu'à 1000 et 121 entre 1000 et 3000.

 

Grands sauts de huit siècles !

Aucune date palindrome

du 29 10   192

au 10 01 1001

&

du 29 11 1192

au 10 02 2001

 

Dans les deux cas:

808 a 2 m 12 j

 = 9 698 m 12 j

 = 295 182 j

 = 7 084 368 h

 = 425 062 080 min

 = 25 503 724 800 s

 

 

Format 01 02 2021

21

 2

 2012

 21022012

2

 2

 2020

 02022020

12

 2

 2021

 12022021

22

 2

 2022

 22022022

3

 2

 2030

 03022030

 

Format 1 02 2021

9

 10

 2019

 9102019

12

 2

 2021

 12022021

22

 2

 2022

 22022022

13

 2

 2031

 13022031

 

Format 2021 02 01

2011

 11

 2

 20111102

2020

 2

 2

 20200202

2021

 12

 2

 20211202

2030

 3

 2

 20300302

 

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553.            Outils mathématiques Google 

 

Google offre quelques outils mathématiques bien utiles.

 

Par exemple, tapez sin(1,23) et vous obtenez le résulta plus un calculatrice scientifique à disposition.

 

Avec 3x^2 + x – 5 = 0, l'équation est résolue (y compris affichage des étapes):

Avec le navigateur Google Chrome, de nombreuses extensions mathématiques sont disponibles.

 

Image animée obtenue en tapant simplement sin(x)/y

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554.            Conversion chaine en nombre

Programmes Maple

 

 

Principe

La conversion du type byte d'une chaine de caractères produit une liste d'entiers.

Notamment les chiffres sont isolés sous la forme d'un nombre égal au chiffre  + 48.

 

 

Exemple d'application

Supposons que l'on veuille convertir une chaine de caractères (string) représentant un nombre en un nombre entier (integer).

La chaine a été obtenue à la suite d'une concaténation (cat). N reçoit la liste des nombres.

Pour retrouver les chiffres, il suffit retirer 48 à chacun des nombres indicés par i  de 1 à la quantité de nombres dans la liste (nops).

 

Ici, au lieu d'énoncer les chiffres, on les additionne avec une pondération en puissance de 10 pour reconstituer le nombre complet.

 

Conversion chaine de caractères en un nombre entier

Il existe une solution plus simple avec l'instruction parse (analyser).

Dans le premier cas, la chaine de caractères ("…") est convertie en un nombre prêt pour des calculs.

Dans le second cas, la concaténation produit une chaine de caractères qui est convertie en nombre par parse.

 

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555.            Notion de "2" cachée 

 

Préfixe

Latin

BI-

AMBO-

 

Grec

DI-

AMPHI-

 

Gotique

TWAI

 

"2" caché

Balance

Besace

Bief

Biner

Biscuit

Brouette

Dièse

Dilemme

Duplex

Janus

 

Exemple de "2" bien caché

Tête-bêche: mot invariable à deux accents circonflexes. Vient de Tête-Béchevet, avec béchevet ou bêchevet qui désigne un double chevet (un lit à béchevet, à deux endroits pour poser la tête) ou encore dormir à béchevet (dormir l'un la tête aux pieds de l'autre).
Du latin biceps (à deux têtes, bicéphale)
Anglais: head to tail.

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556.            Somme de produits 

 

Une règle bien pratique pour calculer la somme de n termes, chacun étant le produit de h facteurs consécutifs.

 

Exemple et règle pratique de calcul

Somme de n termes de h facteurs = fraction 1/(h+1) du produit commençant par n et comptant h+1  facteurs (c'est aussi le dernier terme avec un facteur en plus).

 

Autres exemples

S3 (3)  = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 = 1/4 (3x4x5x6) = 90

S5 (5)  = 1x2x3x4x5 + 2x3x4x5x6 + … + 5x6x7x8x9  = 1/6 (5x 6x7x8x9x10) = 25 200

 

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557.            Racine cubique – Calcul mental 

 

Méthode

Pour calculer, par exemple, la racine cubique de n = 72:

*       Chercher le cube le plus proche (64 = 43): r = 4;

*       Son écart avec le nombre cherché: (e = 72 – 64 = 8);

*       Calculer cette opération =>

 

Formule générale

 

Calcul approché de la racine cubique de 72

 

Ce calcul donne: 4 + 1/6 = 4,166…
       pour la valeur exacte: 4,160…

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558.            Tour de magie – Simple !

 

Le tour

*      Pensez à un nombre.

*      Multipliez par 2.

*      Ajoutez 10.

*      Divisez par 2.

*      Retranchez le nombre de départ.

 

Vous annoncez:
"Le résultat est 5 n'est-ce pas ?"

 

Explication

Pensez à un nombre:

n

Multipliez par 2:

2n

Ajoutez 10:

2n + 10

Divisez par 2:

n + 5

Retranchez le nombre de départ:

5

 

Finalement, le nombre de départ est éliminé lors des calculs.

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559.            Multiplication et division mentales par 9

Multiplication de n par 9

Dizaine = n – 1

Unité = Complément à 9 de la dizaine

Division par 9

Quotient = dizaine

Reste = somme des deux chiffres (tenir compte de la retenue éventuelle)

Méthode valable pour un nombre quelconque de chiffres

 

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