NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Maths en se divertissant

 

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BRÈVES de MATHS

 

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Brèves

 

Atlas des maths

 

Page 27 (520-539)

Page 28 (540-559)

Page 29 (560-579)

Page 30 (580-599)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 29

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

560.            Les six briques

 

Énigme

Sachant que le périmètre d'un seul rectangle est égal à 100, quel est le périmètre du dessin ?

 

Solution

Lé périmètre des six briques est égal à: 6 x 100 = 600.

En écartant légèrement les briques, on constate que les traits en bleu ne font pas partie du périmètre du dessin.

On dénombre six longueurs de briques et six largeurs, couvrant donc trois périmètres, soit: 300.

Le périmètre du dessin est donc: 600 – 300 = 300.

 

 

Brèves associées

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>>> Château et douves

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>>> Périmètres avec des rectangles

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561.            Mêmes chiffres en base b

 

Cas où le nombre et sa conversion en base b présentent les mêmes chiffres.

Ces motifs sont très nombreux.
Le plus petit: 1310 = 314
En effet: 13 = 3 x 4 + 1

 

Autre exemple: 9 73010 = 3 79014

En effet:
3x143 + 7x142 + 9x14 + 0 = 8 232 + 1 372 + 126 = 9 730

 

 

Exemple typique

100 + 50 + 8 = 81 + 72 + 5

 

Exemple avec 10 nombres consécutifs

9 73010 = 3 79014

9 73110 = 3 79114

9 73910 = 3 79914

  

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>>> Nombre 158

 

 

562.            Nombre différence de carré

 

Nombres impairs

Tout nombre impair (n = 2k + 1) est la différence de deux carrés successifs:
n = (k + 1)² – k².

 

Exemple 

11 = 5 x 2 + 1 = 6² – 5².
Notez que 6 + 5  = 11 et  6 – 5 = 1;
le produit  1 x 11 est égal à 11.

 

91 = 45 x 2 + 1 = 46² – 45².
Avec 46 + 45  = 91 et  46 – 45 = 1;
le produit  1 x 91 est égal à 91.

 

Tout nombre

Tout nombre est égal à, au moins, une différence de carrés, sauf, les nombres en 4k + 2 et les nombres 1, 2, 4.

 

Exemple

96 = 25² – 23² = 14² – 10²

      = 11² – 5² = 10² – 2²

Le nombre 96 est quatre fois différences de carrés.

Notez que la somme et la différence de ces couples sont des diviseurs de 96.

Ex: 25 + 23 = 48 et 25 – 23 = 2 => 48 x 2 = 96

       14 + 10 = 24 et 14 – 10 = 4 => 24 x 4 = 96

 

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>>> Nombres, différence de carrés

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>>> Nombre 96

 

 

563.            Nombres d'or et d'argent

 

 

Le nombre d'or et le nombre d'argent sont les longueurs des diagonales du pentagone et de l'octogone respectivement.

 

Ces deux nombres sont la limite du rapport entre deux nombres successifs de Fibonacci ou de Pell-Lucas.

 

La suite de Fibonacci est telle que chaque nombre est la somme des deux précédents en commençant par 1, 1.

La suite de Pell-Lucas est telle que chaque nombre est la somme de deux fois le précédent et  une fois son précédent en commençant par 1, 2.

 

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>>> Pentagone

>>> Octogone

 

 

 

564.            Polygones rigides

 

Rendre rigide un polygone consiste à créer des triangles, seuls polygones rigides naturellement.

 

L'invariant des structures rigides est satisfait:

2P – A = 3

 

Exemple pour le pentagone:
P = 5 points (ou sommets)

A = 7 arêtes

2P – A = 10 – 7 = 3.


 

Il existe une seule forme de triangle rigide, comme pour le quadrilatère. Avec le pentagone, il y en trois, pour l'hexagone 13 et la quantité augmente très rapidement.

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>>> Polygones  Introduction et index

 

 

 

565.            Somme de la table de multiplication

 

Problème

Quelle est la somme de tous les nombres figurant dans la table de multiplication des nombres de 1 à  9 ?

 

Solution

On remarque que la somme de la première colonne est celle des nombres de 1 à 9 qui est égale à:

 

Chaque des colonnes montre les mêmes nombres multipliés par 2, 3, … 9.

La somme sera:
45 x (1 + 2 + ... + 9) = 45 x 45 = 2 025

 

Formulation

 

 

Table de multiplication

 

Somme des nombres de la table 1 à   9  = 45² = 2 025

 

Somme des nombres de la table 1 à 10  = 55² = 3 025

 

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>>> Somme: 1 + 2 + 3 + 4 + …

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>>> Table de multiplication

>>> Nombre 2 025

>>> Nombre 3 025

 

 

566.            Somme des impairs

 

 

Démonstration muette de cette propriété:

 

La somme des k premiers impairs est égale à k².

 

1 + 3 =

1 + 3 + 5 =

1 + 3 + 5 + 7 =

1 + 3 + 5 + 7 + 9 =

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =

  4 = 2²

  9 = 3²

16 = 4²

25 = 5²

36 = 6²

 

 

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>>> Carrés

 

567.            Impairs, carrés et cubes

La somme des impairs pris par quantité croissante k donne lieu à un cube égal à k3.

 

La somme cumulée de ces cubes est un carré.

 

La somme des impairs consécutifs par tranche est un cube.

La somme de tous les impairs consécutifs est un carré.

 

1

= 1

= 13

1

= 1²

3 + 5

= 8

= 23

 9

= 3²

7 + 9 + 11

= 27

= 33

36

= 6²

13 + 15 + 17 + 19

= 64

= 43

100

= 10²

21 + 23 + 25 + 27 + 29

= 125

= 53

225

= 15²

 

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568.            Division rapide par 91

Diviser un nombre à deux chiffres par 91 est particulièrement simple.

 

On commence par multiplier par 11, et …Voir l'exemple.

 

Explication

Méthode basée sur cette prorpiété: 91 x 11 = 1001.

On peut mettre la division sous cette forme:

Le calcul de la période

Au-delà de 91

Si le nombre à diviser dépasse 91, ajouter la quantité de fois que ce nombre contient 91. De n = 91 à 182, ajoutez 1.

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569.            La suite qui se lit

Suite de nombres dite du commentaire numérique ou suite de Conway.

 

Suite de nombres comportant une autoréférence.

 

Elle mixte nombres et quantité de nombres.

 

Objet fréquent d'une énigme.

1

11 – Je vois un 1 sur la ligne du dessus

21 Cette fois, il y deux 1

1211 Je vois un 2 et un 1 su la ligne du dessus

111221 J'ai compris: un 1, un 2 et deux 1

312211 Etc.

13112221

1113213211

31131211131221

13211311123113112211

11131221133112132113212221

3113112221232112111312211312113211

 

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>>> La suite qui se lit (explication)

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570.            Triangle de Pascal – Propriétés

On sait que chaque nombre est égal à la somme de celui du dessus et de celui dessus à gauche:  3 + 2 + 1 ou encore 35 = 20 + 15.

 

 

La somme des nombres sur  la ligne n est égale à 2n : 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25

 

La somme des nombres un sur deux sur la même ligne ets égale à 2n-1. Et, cela deux fois.

 

La somme des nombres le long des diagonales profuit les nombres de Fibonaci.

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571.            Fraction médiane

 

Propriété

 

 

Avec deux fractions, l'une plus petite que l'autre, il est toujours possible de trouver une fraction intermédiaire, la fraction médiane.

 

Exemple

 

En effet: 0,333… < 0,4 < 0,5

 

Démonstration

a/b < c/d avec des nombres positifs (au moins b et d).

 

Alors:

ad + ab = bc + ab

a(b + d) < b(a + c)

 

Idem pour l'autre inégalité.

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572.            Échiquier et dominos

Énigme

Peut-on couvrir cet échiquier tronqué de deux cases de même couleur avec des dominos ?

 

Réponse: NON !

 

Démonstration

Quantité de cases sur l'échiquier tronqué:
32 cases noires et 30 cases blanches.

Avec 62 cases à couvrir il faut 31 dominos.

On ramraque qu'un domini couvre toujours une case blanche et une case noire quelle que soit sa position.

Donc, les 31 dominos couvriont 31 cases blanches et 31 cases noires et jamais 32 et 30 comme requis.

 Illustration

 

Les deux cases blanches des côtés opposés ont été retirées. 

 

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573.            Cubes et carré de sommes

 

Tous les cubes présentent le même jeu de relations que le cube de 6.

Il est plus facile de constater les relations que de les exprimer toutes.

 

La relation principale (en dernière ligne) dit que:

 

La somme des premiers cubes  est égale au carré de la somme des mêmes nombres.

 

Cette relation se prolonge pour la somme de k cubes consécutifs comme étant la différence entre carrés de deux suites de nombres consécutifs.

 

 

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574.            Triangle – Périmètre minimum

Question

Deux droites parallèles.

Deus points A et B sur l'une d'elles, formant la base des triangles ayant M et Q comme sommets.

Quel est le triangle qui a le plus périmètre ?

 

Réponse

Plus grand périmètre pour le triangle isocèle AMB.

Pourquoi ?

Dessiner le point B' symétrique de B par rapport à la parallèle. AB // MS et S milieu de BB' => M milieu de AB'. AM = MB'. MB = MB'.

Dans le triangle AQB', la longueur AQ + QB' est supérieure à AB'.

Elle est minimum que si Q et M sont confondus. Ce qui minimise: AM + MB' et donc aussi AM + MB  et, par conséquent: AM + MB  + AB  = P.

 

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575.            Corde tendue

 

Question

Terrain de 100 m et corde de 101 m.

Hauteur h du piquet pour que la corde soit tendue ?

 

Réponse

Simple, avec le théorème de Pythagore.

 

Avec une corde de 101 m pour une distance de 100 m, la hauteur h dépasse les 7 m.

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576.            Pi en somme et produit

Somme

Formule de Leibniz (1646-1716)

 

 

Formule d'Euler (1707-1783)

 

 

Produit

Formule de Wallis (1616-1703)

 

 

Formule de Riemann (1826-1866)

 

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577.            Hauteur du donjon

 

Défi

Sans accès au pied du donjon,  comment estimer la hauteur du donjon du château de Vincennes ? La valeur donnée dans les livres est 52 m.

 

 

Mesures

Placé en un certain point, je mesure un angle b = 20°.

En avançant de 100 m, l'angle passe à 50,5°

Ai-je assez de données ? Oui !

Une modélisation avec GeoGebra confirme le calcul

Calcul

Hauteur du donjon

h

Avec l'ange a

Avec l'ange b

Avec h en commun

1,213x = 0,303(x+100)

Résolution en x

x = 42,87

Calcul de h

h = 1,213 x 42,87 = 51,05 m

 

Note: le résultat est très dépendant de

la précision de mesure des deux angles.

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578.            Chemin le plus court

 

Alexis se propose d'amener un livre à Pauline. Il doit cependant s'approcher du tapis roulant pour y déposer son sac à dos. Quel est le chemin le plus court ?

 

Si Alexis se trouvait de l'autre côté, à la même distance du tapis (position symétrique), il irait tout droit.

Notons le point où il aurait déposé son sac.

Alexis doit alors rejoindre le point de dépôt du sac et se diriger vers Pauline.

Évidemment, on aurait le même chemin en prenant la position symétrique de Pauline.

 

On trouve d'autres exemples comme la vache ou la chèvre qui va boire à la rivière avant de rentrer à la ferme, ou encore, le petit-fils qui apporte un seau d'eau à sa grand-mère.

 

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>>> Symétrie

 

 

579.            Nombres cachés dans notre langue

Mots de français dont l'étymologie renferme un nombre caché d'une origine quelconque.

*       Soit, le nombre est d'origine étrangère et il est difficilement reconnaissable comme dans punch (5 en hindi);

*       Soit, le nombre est d'origine française et la déformation le rend méconnaissable comme dans tête-bêche qui vient de tête en béchevet (en double chevet).

 

On exclut les nombres à préfixes explicites comme bi-, tri-, etc. On les retrouve tous dans les pages culture des nombres.

1/10

Décimer

1

Unique

2

Biscuit

2

Brouette

2

Besace

2

Tête-bêche

3

Sampan

3

Treillis

4

Carillon

5

Punch

5

Lustre (5 ans)

5

Quentin

7

Semaine

7

Septentrional

9

Noon (lune en anglais)

12

Duodénum

20

Score

20

Hussard

50

Khamsim (vent)

100

Hécatombe

144

Grosse (12²)

10 000

Myriade

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