NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Atlas des maths

 

Page 28 (540-559)

Page 29 (560-579)

Page 30 (580-599)

Page 31 (600-619)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 30

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

580.            Carré et dominos

 

Énigme

Un carré et quatre rectangles sont ainsi disposés pour former un grand carré.

On sait que l'aire du grand carré (A) vaut quatre fois celle du carré interne (a)

Quelle est le rapport entre la longueur (Y) de chaque rectangle et leur largueur (y) ?

 

Solution en calculant les aires

 

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581.            Carré rigide – Barres identiques

 

But

Constituer un réseau de barres identiques sans croisement, comportant un carré et les éléments nécessaires pour le rigidifier.

 

Solution

La solution minimale consiste à composer cette figure comportant 4 + 23 = 27 barres

 

Publiée par Martin Gardner (1964)

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582.            Théorème de Descartes-Euler

 

Invariant des polyèdres convexes

 

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583.            Florilège Repdigits et Pannumériques

 

Racine de repdigits

Propriété des premières décimales

n

n

n

11

3,3…

1111

33,33…

111111

333,333…

44

6,6…

4444

66,66…

444444

666,666…

99

9,9…

9999

99,99…

999999

999,999…

 

 

 

n

111111111111

333333,33333317…

444444444444

666666,66666634…

999999999999

999999,99999951…

Suite sans fin …

 

 

Division des retournés

n

nR

n  / NR

21

12

1,7  50000000

321

123

2,6  09756098

4321

1234

3,5  01620746

54321

12345

4,4  00243013

654321

123456

5,3  00034020

7654321

1234567

6,2  00004536

87654321

12345678

7,1  00000583

987654321

123456789

8,0  00000073

 

Les deux premiers chiffres significatifs du quotient:

*      le premier vaut le premier chiffre de gauche moins 1, et

*      le second est son complément à 8.

 

 

Racine des nombres palindromes "en toit"

(En référence à la symétrie par rapport au chiffre central)

n

121

11

12321

111

1234321

1 111

123454321

11 111

12345654321

111 111

1234567654321

1 111 111

123456787654321

11 111 111

12345678987654321

111 111 111

 

 

Amusements sur calculette

proposés par Paul Villemin

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584.            Multiplication et distributivité

 

Comment comprendre et se souvenir des règles de distributivité en algèbre ?

 

Un simple dessin permet de reconstituer le développement du produit.

 

a (b + c) = ab + ac

 

 

(a + b) (c+ d) = ac+ ad + bc + bd

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585.            Identité remarquable

 

a² – b² = (a + b) (a – b)

 

Exemple: 101² – 100² = (101 + 100) x 1 = 201

 

Démonstration muette

 

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586.            Aire max selon périmètre

 

Quadrilatère

Selon le dessin, le plus grand terrain rectangulaire entouré avec une corde de 40 m, sera un carré de 40 / 4 = 10 m et son aire sera 100 m².

D'une manière générale, le côté du carré sera toujours le périmètre divisé par 4.

 

Cercle

On fera mieux avec un cercle.

Aire en fonction du périmètre:

 

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587.            Tous les chiffres en 84

Avec ce simple 84 écrit de cette manière, il est possible de dessiner tous les chiffres de 0 à 9.

 

Avec cette graphie, le 7 est rendu sans sa barre, comme sur les claviers ou comme l'écrivent les Américains. Même remarque pour le 4.

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588.            Puissances négatives

 

On sait que x4 = x.x.x.x

Mais que vaut x- 4, avec un exposant négatif?

 

On utilise la propriété suivante:
  
 

 

 

On a, selon la propriété:
 

 

Et également:
 

En divisant par xa

 

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589.            Puissance  fractionnaire

 

Prenons un exemple et suivons la logique vue ci-dessus:

On a aussi cette relation:

En rapprochant ses deux égalités, on déduit:

 

 

 

Quelques exemples:
 


 

 

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590.            Simplification par télescopage

 

Méthode de simplification par annulation de termes de proche en proche.

Exemple avec la démonstration de la somme des entiers

Disons que S(n) = 1/2 n (n +1) et prouvons-le.

 

Dans le tableau, notons les différences de sommes pour n, n- 1, n-2,  … 2, 1 et calculons. En notant que S(n) + S(n–1) = n.

   

n

S(n)

 – S(n)

=

n

n – 1

S(n-1)

 – S(n-2)

=

n – 1

n – 2

S(n-2)

 – S(n-3)

=

n – 2

 

 

3

S(3)

 – S(2)

=

3

2

S(2)

 – S(1)

=

2

1

S(1)

 – S(0) = 0

=

1

Somme

S (n)

– 0

=

S. Entiers

Les termes jaunes s'annulent et de même pour la suite.

 

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591.            Carré = Somme  de cubes

 

Démonstration muette

 

Carré

Aire du grand carré: (1² + 2²+ 3² + 4² + 5²)

 

Cubes

Les carrés rouges de la diagonale ont une aire égale à : 1², 2², 3², 4², 5².

Chacun de ces carrés de côté k est représenté par des carrés latéraux de même dimension, sauf pour k = 2 et  k = 4 pour lesquels les rectangles s'assemblent pour former le dit carré.

L'aire du grand carré compté avec ces carrés élémentaires est ainsi formée d'une addition de cubes. 

 

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592.            Nombres orphelins

 

Le "fils" d'un nombre est défini de cette façon: chacun de ses chiffres est la différence absolue des deux chiffres successifs du "père".

Ainsi le nombre 9370 a pour fils le nombre 647.

 

Un père n'a qu'un fils, mais un fils peut:

*      avoir plusieurs père (111 a 64 pères ou antécédents);

*      n'avoir aucun père. Ce sont les nombres orphelins. Le plus petit est 648.

 

 

 

Si 648 est orphelin, alors son retourné 848 l'est aussi.

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593.            Partition de 10

 

Énigme

Trois verres et dix jetons (ou dix pièces).

Placer un nombre impair de jetons dans chaque verre.

 

Huit partitions à trois termes du nombre 10

[3, 3, 4],  [2, 4, 4], [2, 3, 5], [1, 4, 5],

[2, 2, 6], [1, 3, 6], [1, 2, 7], [1, 1, 8]

Chacune comporte un ou trois nombres pairs.

 

Solution

Le nombre 10 est pair et la somme de trois nombres impairs est impaire.

 

Solution impossible sans une astuce !

 

Celle-ci consiste à mettre un gobelet dans un autre.

Ils contiennent alors 5, 3, 5 jetons, des nombres impairs comme demandé.

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594.            Cercles dans le carré

 

 

Construction

Deux cercles tangents.

Construire le carré circonscrit.

 

Méthode

Droite joignant les centres des deux cercles.

Carré (vert) sur un rayon externe.

Intersection cercle avec diagonale du carré.

Carré (orange) porté par la diagonale.

 

Perpendiculaire verticale au point de tangence des deux cercles (bleue).

 

Droite portée par un côté du carré orange. Intersection avec la perpendiculaire bleue.

 

Grand carré orange sorte d'extension du petit carré orange.

 

Sauriez-vous calculer le rayon de ces cercles en fonction du côté du carré ? >>>

 

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595.            Volume de la boite

 

Problème

On confectionne une boite à partir de ce patron. Quelles sont ses dimensions pour obtenir le volume maximum.

Pas si simple !

 

Calcul du volume

Longueur = L – 2x

Largeur   = l – 2x

Volume  = (L – 2x) ( l – 2x ) x
             = x (
L .  l – 2xL – 2xl + 4x²)
V = 4x3 – 2x² (L + l)  + x . L . l

 

Volume maximum

Application du calcul des dérivées: la fonction volume V(x) atteint un extremum lorsque sa dérivée par rapport à x est nulle.

Dérivée de V(x):
V'(x) = 12x² – 4 (L + l) + L . l

 

Exemple  L = 200 mm et l = 100 mm

V'(x) = 12x²  – 1200x + 20 000

Solution positive pour x = 21,13

Alors L = 157,73 mm,  l = 57,73 mm et V = 192 450 mm3

 

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596.            Carré magique et carrés

 

Le carré magique 3x3 est unique. Parmi ses propriétés, celle-ci:

On forme des nombres en lisant les chiffres des lignes ou des colonnes (comme 618).

On prend son retourné (816). Alors, la somme des carrés (en rouge) pour les trois lignes est égale à la somme des carrés des retournés pour ces trois lignes. Même chose avec les colonnes.

  

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597.            Suite de nombres composés

On s'intéresse aux nombres premiers successifs.

On sait que l'écart minimal est 2 pour les nombres premiers jumeaux (comme les nombres premiers 11 et 13, séparés par un seul nombre composé).

Mais, existe-il une limite pour la plus longue suite ?

Par exemple, il y a sept nombres composés entre 89 et 97 (illustration), soit un intervalle de 8 entre les deux premiers.

En fait, on sait trouver des suites aussi longues que l'on veut, voire infinie ! Mais, quelle sont celles connues ? Le tableau montre le début de la liste de longueur record pour le plus petit nombre premier en tête de la liste.

En 2020, le record de longueur est 1510. Les ordinateurs continuent de tourner …

 

 

 

  

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598.            Nombres de Friedman

 

Nombres qui peuvent être exprimés en utilisant les chiffres associés à des opérateurs arithmétiques classiques. 
Comme 25 = 5² ou 1024 = 410 / 2.
Ils sont très nombreux.

 

Ils sont Friedman bine ordonnés si les chiffres sont placés dans l'ordre comme pour les exemples à droite.

 

Ils sont Friedman sauvages s'ils utilisent des opérateurs autres que les quatre opérations. Comme:

 

Exemples de Nombres de Friedman bien ordonnés

 

 

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599.            Chiffres concaténés

 

Nombres chiffres concaténés

Les 45 nombres formés avec tous les chiffres dans l'ordre croissant et possibilité de concaténation.

Ainsi, 123 est valide car il est le regroupement en un nombre (concaténation) de trois chiffres consécutifs.

 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 123, 234, 345, 456, 567, 678, 789, 1234, 2345, 3456, 4567, 5678, 6789, 12345, 23456, 34567, 45678, 56789, 123456, 234567, 345678, 456789, 1234567, 2345678, 3456789, 12345678, 23456789, 123456789.

Nombres somme de chiffres concaténés

Il y a 187 nombres formés par la somme des nombres chiffres concaténés de sorte que tous les chiffres de 1 à 9 soient représentés en ordre croissant.

Ainsi: 126 = 12 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 89

45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, …, 456813, 456912, 1234584, 1234656, 2345688, 3456792, 3456801, 12345687, 23456790.

 

Multiples de 9

Toutes ces sommes sont des multiples de 9 car la somme des chiffres est un multiple de 9.

Certains multiples de 9 sont intouchables par ces sommes. Le plus petit étant 243.

 

243, 297, 306, 351, 360, 369, 405, 414, 423, 468, 477, 522, 531, 540, 585, 639, 648, 657, 765, 774, 792, 801, 900, 909, 918, 936, 945, 954, 981, 990, 999, 1008, …

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