NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Page 32 (620-639)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 31

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

600.            Amusement avec deux dés

 

Demandez à quelqu'un de faire les opérations indiquées et
dîtes-lui que vous pouvez deviner son résultat.

  Vous lui répondez 49 ! En effet, les opérations sont telles que la valeur des dés s'éliminent en remarquant que la somme des valeurs sur deux faces opposées est toujours 7.

 

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601.            Preuve par 9

 

Racine numérique

La racine numérique (RC) d'un nombre est la somme de ses chiffres, éventuellement répétée pour aboutir à un seul chiffre.

 

Exemple de calcul de RC

RC (123 456 789) =>

1+2 = 3

           3+3 = 6

                      6+4 = 10 => 1

1+5 = 6

           6+6 = 12 => 3

3+7 = 10 => 1 

1+8 = 9

           9 + 9 = 18 => 9

Le nombre 123 456 789 est divisible par 9. La division ne s'impose que si l'on veut connaitre la quotient (13 717 421).

 

Remarque

Dans ce système où on cherche la divisibilité par neuf, le 9 est équivalent à 0.

En effet, le 9 est divisible par 9 avec 0 pour reste.

 

Propriété

RC du résultat d'une opération
= Résultat du calcul avec les RC.

 

Preuve par 9 d'une multiplication

http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Preuve9_fichiers/image035.jpg

À gauche la multiplication et à droite la même multiplication, mais avec les RC.

 

Divisibilité par 9

Si on soustrait ses chiffres à un nombre, le résultat est toujours divisible par 9.  

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Vocabula/GlosP/Preuve_fichiers/image015.jpg

   

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602.            Nombres croissants et preuve par 9

La somme des chiffres d'un nombre croissant (chiffres consécutifs) multiplié par 9 est égale précisément à 9.

 

Explication

9 x abcde avec a < b < c < d < e

Cela revient à multiplier par 10 – 1. Soit l'opération:

a

b

c

d

e

0

a

b

c

d

e

Qui, du fait que les nombres sont croissants, s'écrit:

a + (b-a) + (c–b) + (d-c) + (e-d-1) + (10-e) = 9

Cette simplification des termes deux à deux se nomment simplification par télescopage.

12 x 9 = 108 => RN = 9

123 x 9 = 1 107 => RN = 9

1 234 x 9 = 11 103 => RN = 9

12 345 x 9 = 111 105 => RN = 9

45 x 9 = 405 => RN = 9

456 x 9 = 4 104 => RN = 9

4 567 x 9 = 41 103 => RN = 9

13 579 x 9 = 122 211 => RN = 9

2 468 x 9 = 22 212 => RN = 9

1 234 56 789 x 9 = 1 111 111 101 => RN = 9

Plus petit et plus grand nombres tels que la multiplication par 9 présente un chiffre k donné.

 

Seuls quatre cas avec 8:

*      2 x 9 = 18 => plus petit

*      9 x 9 = 81

*      12 x 9 = 108

*      89 x 9 = 801 => plus grand

 

Plus k décroit et plus la quantité de cas croit. Pour k = 1, il y a 470 nombres croissants: 2, 12, 13, 123, 14, 24, 124 …

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603.            Glace 2 boules, 3 parfums

 

Quantité de compositions possibles

11 – Fraise, fraise

22 – Vanille, vanille

33 – Chocolat, chocolat

12 – Fraise, Vanille

13 – Fraise Chocolat

23 – Vanille Chocolat

 

6 possibilités

Formule de calcul

 

n parfums

k boules

 

Calcul

 

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604.            Le verre penché – Énigme

 

Verre ballon demi-sphérique à moitié plein.

De quel l'angle maximum peut-on le pencher sans verser une goutte de liquide ?

 

Cet angle vaut 30°. En effet, le complémentaire de l'angle marqué en vert a pour cosinus (1/2 R / R = 1/2), ce qui correspond à un angle de 60°.

  

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605.            Constante de Gelfond

 

Nombre réel  transcendant (non racine d'une équation polynomiale).

Transcendance démontrée en 1929 par Alexandre Gelfond (russe: 1906-1968).

 

Il s'agir de deux nombres irrationnels avec une opération qui les relie  aux nombres imaginaires.

Cette relation résulte directement de l'identité d'Euler.

 

Curiosité: presque entier !

 

 

Identité d'Euler

Constante de Gelfond

= 23, 140 692 64...

= 0, 207 879 576...

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606.            Premiers retournés - EMIRP

 

Un nombre EMIRP: premier en anglais – prime – épelés à l'envers.

Ce sont des nombres premiers qui restent premiers en les retournant, comme 13 et 31.

Sont exclus les nombres uniformes (repdigit) comme 11 ou 999.

Il y a mieux. Par exemple: 1193 et 3911 sont EMIRP. Mais aussi une majorité de leurs permutations: 1931, 9311, 3119, 1319, 1913 et 3191.

 

Liste jusqu'à 1000

13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97,

107, 113, 149, 157, 167, 179, 199, 311, 337, 347, 359, 389, 701, 709, 733, 739, 743, 751, 761, 769, 907, 937, 941, 953, 967, 971, 983, 991.

 

Chacun se retrouve répété avec son retourné (exemples en rouge).

 

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607.            Triangulation des polygones

 

Théorème

Avec un polygone quelconque de n côté et p points internes, on peut former exactement:

q =  2p + (n – 2) triangles.

   

 

Carré et quatre points

q = 2x4 + 4 – 2 = 10 triangles.

Impossible de faire moins; impossible de faire plus !

 

 

Ce carré est partagé en dix triangles

 

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608.            Rébus mathématique

Résoudre ce rébus mathématique !

Le logarithme d'une exponentielle redonne le nombre lui-même.

La racine cinquième d'une puissance cinquième redonne le nombre lui-même.

Cette intégrale en dx est égale à la différence entre ses bornes.

I love math and physics

J'aime les maths et la physique

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609.            Racine carrée approchée

Formule pour approcher une racine carrée.

Exemples

                                 pour: 7,0710…

                                         pour: 10,2469…

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610.            Sinus et cosinus et puissance 4

Calcul qui montre que cette différence en puissance 4 et la même qu'en puissance 2.

Utilisation de l'identité remarquable (ligne 3):
 a² –  b² = (a – b) (a + b)

 

Exemple: cos4 (60°) – sin4 (60°) = cos (120°) = -1/2

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611.            Repdigit et 37

Ces fractions amusantes s'expliquent du fait que 111 = 3 x 37

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612.            Division rapide par 99

 

Exemple de division

456789 / 99  =  ?

 

Bilan

456789 / 99 =  4614 reste 3

                         = 4614,030303…

 

La division par 99 est très simple:

*    Partager le nombre en blocs de 2 chiffres à partir de la droite (45  67  89).

*    Ajouter le bloc suivant à la somme complète obtenue (45 + 67 = 112 => 12 et 1 de retenue).

*    Les retenues sont abaissées (1 en dessous du 45).

*    Le reste est réalisé avec la somme finale (bloc dizaine-unité + centaine). Ici: 01 + 2 = 3.

 

Le résultat est:

*    soit euclidien quotient: 4614 et reste 3.

*    soit décimal (périodique): 4614,030303… Le surlignement indique que la période se répète à l'infini.

 

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613.            Plus petit nombre insignifiant

 

Tous les nombres ou presque possèdent une caractéristique propre.
Exemple avec les nombres de 0 à 10 =>

Existe-t-il un nombre sans propriété particulière, un nombre insignifiant ?

Si oui, ce nombre devient particulier en ce sens qu'il est le plus petit insignifiant et, de ce fait, rentre dans la liste des nombres ayant une propriété.

Avec l'engouement pour les nombres, on ne retient plus l'inventivité des mathématiciens et amateurs de nombres pour trouver de nouvelles propriétés, réduisant à néant le champ des insignifiants.

 

Une propriété saillante pour chaque nombre

0 – Élément neutre de l'addition.

1 – Élément neutre de la multiplication.

2 – Seul nombre premier pair.

3 – Plus premier impair.

4 – Plus petit carré (non trivial).

5 – Toutes ses puissances se terminent par 5.

6 – Factorielle de 3: 1x2x3 = 6 = 3!.

7 – Plus petit nombre de Mersenne premier.

8 – Seul cas de puissances consécutives: 8 = 23  et 9 = 32.

9 – Divisibilité par 9: la somme des chiffres est divisible par 9.

10 – Base de notre système de numération.

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614.            Puissance n0  = 1

Théorème

Tout nombre à la puissance 0 est égal  à 1.

 

Commentaires

*    La fraction n / n est posée. Elle vaut 1.

*    On sait que n = n1 et que 1/n = n-1.

*    Avec un produit de puissances, les exposants s'ajoutent: n1 . n-1 = n1 – 1 = n0 

 

Exemples

30 = 20 = 10 = 00 = (–1)0 = (–2)0 = 1 

Notez que: – 20 = – (20) =  –1

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615.            Fraction continue à la demande

Fraction continue de la racine de 2021 avec 2020 pour numérateur.

Comment s'y prendre ?

Méthode

Toute racine peut s'écrire comme ceci:

En remplaçant racine de n par sa valeur:

On recommence autant de fois que l'on veut.

Pour 2021, on a choisit a = 1.

 

Calcul

On exécute un premier calcul en remplaçant racine de n par une valeur approchée, disons 44  pour 2021.

Les calcule suivants sont réalisés en injectant le résultat du calcul précédent à la place de racine de n.

Formule pour le fun, car la convergence n'est pas très rapide.

La fraction continue conventionnelle avec 1 pour numérateur est:

[44, 1, 21, 2, 21, 1, 88, 1, 21, 2, 21, 1, 88, 1, 21, …]

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616.            Spirale en racines carrées

La construction du nombre racine de 2 est bien connue: 'est la longueur de la diagonale du carré unité.

Avec cette construction comme point de départ, il est possible de construire la racine de 3 en traçant la perpendiculaire à la diagonale et en y reportant une longueur unité. La nouvelle diagonale mesure racine de 3.

Ainsi  de suite.

 

La figure est la spirale de Théodore de Cyrène ou l'escargot de Pythagore.

 

En 1958, Erich Teuffel a démontré que les rayons ne se superposent jamais.

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Rac2Geom_fichiers/image059.jpg

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617.            Formulaire du cercle

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618.            Équation B.AB = BX

Résoudre: 93 + 93 + 93 = 3x
Solution: 3 x (3²)3 = 3x

31 x 36 = 3x

37 = 3x

x = 7

Généralisation
Résoudre:  B . AB = BX

Une trentaine de solutions pour A et B jusqu'à 100.

 

Solutions pour A et B inférieurs à 10

  

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619.            Point de Feynman et Pi

Décimales de Pi

On s'intéresse à la répétition des décimales dans la constante Pi.

 

Exemple: la première répétition de deux chiffres se trouve à la 24e décimale avec 33.

3,1415926535 8979323846 26433832795

 

On trouve ensuite 88 en 34e position.

 

 

Point de Feynman

La première occurrence de six répétitions intervient à la position 762, dite point de Feynman, avec 999 999. Il faut dépasser la cent-millième position pour trouver l'occurrence suivante.

 

Occurrences de six chiffres identiques dans Pi

[Rang, valeur des sic décimales]

[762, 9], [193034, 9], [222299, 8], [244453, 5], [252499, 6], [253209, 5], [255945, 1], [399579, 7], [419997, 5], [452071, 7], [710100, 3], [710101, 3], [828499, 4], [963024, 2]

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