NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Atlas des maths

 

Page 30 (580-599)

Page 31 (600-619)

Page 32 (620-639)

Page 33 (640-659)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 32

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

620.            Magie – Devinez deux nombres

  

Extension aux nombres à deux chiffres en multipliant par 100.

 

Brèves associées

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Pour en savoir plus

>>> Les quatre opérations

>>> Magie Index

 

 

621.            Magie – Danemark 

Le tour

Exemple

Prendre un nombre quelconque.

Multiplier par 9.

Retirer 5.

Ajouter les chiffres.

Recommencer pour obtenir un seul chiffre.

   123 456

1 111 104

1 111 099

1+1+1+1+9+9 = 22

2 + 2 + 4

Associer ce chiffre à la lettre correspondante dans l'alphabet.

Trouvez un pays d'Europe commençant par cette lettre.

Sans que tu me dises quoi que ce soit
Je suis capable de donner un fruit dont le nom commence par la dernière lettre du pays.

4 =>  A, B, C, D

Danemark

 Seul pays avec D

K = kiwi
Seul fruit avec K

Vous aurez retenu la propriété de la preuve par 9.

Le nombre multiplié par 9 donnera un nombre dont la somme des chiffres sera divisible par 9.

En retranchant 5, nous aurons toujours le nombre 4 comme résultat.

Le tour n'est faisable qu'une seule fois !

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Pour en savoir plus

>>> Preuve par neuf

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622.            Pavage et Fibonacci

 

La suite de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …

Chacun est la somme des deux précédents.

 

Une utilisation des nombres de Fibonacci: pavage sur une longueur n avec des dalles carrées (1x1) ou rectangulaire (1x2). La quantité de possibilités pour n donné est le nombre Fn de Fibonacci.

  

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>>> Suite de Fibonacci

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623.            Fibonacci et nombre d'or

 

Propriété

Le rapport entre deux nombres de Fibonacci successifs tend vers le nombre d'or lorsque ces nombres tendent vers l'infini.

  

Explications

Prenons trois nombres de Fibonacci successifs comme 3, 5 et 8 et leurs deux rapports: 5/3 = 1,666… et 8/5 = 1,6.

Ces deux rapports sont décroissants et cette propriété est valable pour la suite de Fibonacci.

On a ainsi deux rapports tels que a/b < c/d.

Dans ce cas, on sait trouver une fraction médiane:

 

Convergence

Progressivement, la fraction médiane est enfermée dans un intervalle qui se réduit. Elle converge vers 1, 618 …, le nombre d'or.

Le tableau montre (code couleur) la naissance et la destinée de chacun des rapports. Une fraction naissante (au centre) devient soit la plus petite des deux lignes suivantes ou la plus grande.

 

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Pour en savoir plus

>>> Fibonacci et nombre d'or

>>> Fraction médiane

 

 

624.            Racine carrée de puissances

Résultat peu intuitif pour ce calcul de la racine d'un nombre à une puissance.

 

En fait, la racine carrée est équivalente à une puissance 1/2. Il suffit donc de diviser l'exposant par 2.

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>>> Puissances fractionnaires

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625.            Nombre plastique (Padovan)

Une constante qui est l'unique racine réelle de cette équation du troisième degré.

Cousin du nombre d'or. Rapport de convergence de la suite de Padovan cousine de la suite de Fibonacci.

= 1,324717957244746026…

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>>> Suite de Fibonacci et nombre d'or

 

 

626.            Nombre d'ACHILLE

 

Nombres d’Achille

Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puissants, mais pas puissance parfaite.
Nom donné par Henry Bottomley.

 

Nombre dont deux facteurs au moins ont des exposants différents supérieurs à 1.

Un nombre puissant (ou plénipotent), non puissance parfaite, est un nombre d’Achille.

Nombres d'Achille – Deux exemples

 

Puissants parfaits, mais pas Achille

  36 = 22 x 32 = 62

216 = 23 x 33 = 63

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>>> Puissance parfaite

>>> Facteurs des nombres

 

 

627.            Calcul avec radicaux

 

But

Résoudre cette équation avec des 1/2 et l'inconnue en exposant.  Possible ?

 

Commentaires du tableau de résolution

D'abord les quatre fois 1/2 font 2. Cette écriture est présente pour un simple effet esthétique. Tout comme la puissance 1/2 qui est en fait une autre manière de noter la racine carrée.

En remplaçant 16 par 24 , on met en évidence un 2 à une puissance de chaque côté.

Même si l'égalité semble évidente, passons par les logarithmes pour confirmer. L'exposant 'une puissance devient un coefficient. En divisant par ln(2), non nul, on retrouve bien ce qui semblait évident.

Une élévation au carré termine le calcul en révélant que x = 16.

 

Résolution de l'équation

En effet:

Seul cas de k puissance racine de x = x (sauf cas trivial avec 1)

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>>> Racines carrées

>>> Équations

 

 

628.            Équation en racine cubique

 

But

Résoudre cette équation avec ces deux racines cubiques bien encombrantes.

 

Commentaires du tableau de résolution

S'il s'agit d'un exercice scolaire, il y a une grande probabilité que l'expression sous radical soit un cube. Sinon la résolution est particulièrement ardue.

On cherche les coefficents d'un expression telle que  

On note que a3 ne peut pas dépasser 6, soit a = 1.

On essaie b = 1 et ça marche !

 

Résolution de l'équation

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629.            Carré et deux cercles

 

Problème

Quel est le côté du plus grand carré recouvert entièrement par deux cercles de rayon unité.

 

Solution

Le cercle 1 passe par A et D.

Le cercle 2 passe par B et C.

Les deux cercles sont interchangeables. La figure est symétrique. Les deux cercles passent par E et F, les milieux de AB et DC.

Dans le triangle rectangle BCE inscrit dans le cercle, BE est un diamètre.

Avec le théorème de Pythagore:
BE² = 2² = BC² + CE² = c² + (1/2 c)² = 5/4 c²

 

Carré le plus grand couvert par deux cercles identiques de rayon R. Son côté vaut 1,78 R.

 

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630.            Carrés et quatre cercles

 

Problème

Quelle est la longueur du côté du petit carra vert ?

C'est aussi le diamètre du cercle interne, tangent aux quatre cercles.

 

Solution

Avec C = côté du grand carré et c pour le petit. R est le rayon des cercles.

La figure de droite, avec le triangle isocèle rectangle en vert, montre que:
 

(2R)² + (2R)²

=

(2R + c)²

=

  2R + c

2R

=

=

c

=

c

=

0,207106… C

 

 

 

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631.            Périmètre inconnu

 

Énigme

Quatre villes. Curieusement, on connait les distances:

*      Paris-Lyon-Marseille-Nantes: 1 680 km

*      Lyon-Marseille-Nantes-Paris: 1 683 km

*      Marseille-Nantes-Paris- Lyon: 1 750 km

*      Nantes-Paris- Lyon-Marseille: 1 079 km

Quelle est la distance pour faire le tour complet ?
Autrement-dit, le périmètre du quadrilatère.

 

 

Solution avec p = Paris-Lyon, l = Lyon-Paris, …

La somme des quatre trajets proposés correspond à trois fois le tour complet comme le montre ce tableau.

 

p

+ l

+ m

 

= 1 680

 

+ l

+ m

+ n

= 1 683

p

 

+ m

+ n

= 1 750

p

+ l

 

+ n

= 1 079

3p

+ 3l

+ 3m

+ 3n

= 6 192

p

+ l

+ m

+ n

= 2 064

 

Plan

 

Bonus: calcul des distances entre villes

Quatre équations pour quatre inconnues: il est possible de retrouver la distance entre villes (distances réelles).

p = 381, l = 314, m = 985 et n = 384.

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632.            Sous-ensembles de [1,2,3,4]

 

Il existe 73 façons de créer des sous-ensembles ordonnés de l'ensemble [1, 2, 3, 4] .

*      d'abord, il y a 24 (= 4!) façons de permuter l'ensemble [1, 2, 3, 4];

*      puis séparation en deux sous-ensembles de taille 3 et 1 avec 6 permutations de celui à trois éléments et quatre possibilités pour le nombre isolé;

*      avec la séparation (2,  2) on a: (12,34), (12,43), (13, 24), (13,42), (14, 23), (14, 32) et les six identiques en inversant les deux premiers nombres;

*      vient le partage en 3 avec 12 possibilités; et

*      enfin, le partage en 4 avec une seule possibilité. Les sous-ensembles sont interchangeables: 1, 2, 3, 4 est équivalent à 2, 1, 3, 4.

 

 

73 sous-ensembles ordonnés

avec [1, 2, 3, 4]

 

Il en 501 pour [1, 2, 3, 4, 5].

 

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633.            Théorème du face à face

Deux cercles quelconques (bleus). Les tangentes issues du centre des cercles (vertes).

Les cordes (roses) sont égales.

Le quadrilatère ayant ces cordes pour côtés est un rectangle.

 

La figure ressemble à deux yeux qui se font face. D'où le nom en anglais: eyeball theorem, pour théorème des globes oculaires ou théorème des quinquets. 

 

 

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634.            Nombres de Kaprekar

 

Définition

Un nombre de Kaprekar de n chiffres est tel que les chiffres de sa puissance k peuvent être partagés en k nombres de n chiffres, et la somme de ces nombres est égale au nombre initial.

 

Exemples

 

Multi-Kaprekar (rare)

Le nombre 45 est Kaprekar d'ordre 2, 3 et 4:

 

45² = 20 25

453 = 91 125
454 = 4 100 625

45 = 20 + 25

45 = 9 + 11 + 25
45 = 4 + 10 + 06 + 25

 

Tous les repdigits en 9 sont Kaprekar d'ordre 2.
Les nombres en 3 et 6 ont leurs sommes
correspondantes en 9.

 

99² = 98 01

99 = 98 + 01

66² = 43 56

99 = 43 + 56

33² = 10 89

99 = 10 + 89

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Pour en savoir plus

>>> Nombres de Kaprekar

>>> Nombres de Kaprekar Tables

>>> Nombre 45

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635.            Nombre 39

  Le nombre 39 est  égal au produit de ses chiffres ajouté à la somme de ses chiffres, comme tous les nombres à deux chiffres terminés par 9.

 

Propriété évidente en décomposant:

 

Le nombre 39 et son penchant pour le nombre 3

La barre au-dessus des nombres indique que ces nombres sont concaténés.

 

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>>> Nombre 39 dans le DicoNombre

>>> Nombres somme-produit

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636.            Compter les chiffres

 

Comment lire le tableau

 

Il y a, par exemple,  21 fois le chiffre 1 pour écrire tous les nombres de 1 à 100.

 

Un livre de 162 pages utilise 100 fois le chiffre 1 pour sa pagination.

 

 

Jusqu'à 10, il y a les nombres 1 et 10, ce qui totalise deux fois le 1; et, une seule fois le 0. Pour écrire 10 fois le 1, il faut tous les nombres de 1 à 17.

 

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637.            Puissance des puissances de 2

Formation des puissances

Amusement avec les chiffres des puissances de 2.

Quelles sont les autres puissances sue l'on peut former avec ces chiffres.

 

Exemple

Le bicarré de 7 est formé des mêmes chiffres que la puissance dixième de 2.

 

On peut former 16 ( = 24) puissances avec les chiffres de 214.

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638.            Pourquoi: 0,999… = 1

 

Une affaire d'infini

Ayant un nombre décimal comme 0,111, il est toujours possible de trouver un nombre plus grand comme 0,112, ou même beaucoup comme 0,1111 ou 0,11111111.

Non, ce n'est pas toujours possible !

Prenez le nombre 0,999, alors 0,99999999 est plus grand. D'accord !

Mais s'il y a une infinité  de 9, on a: 0, 9999 (infinité). Et là, impossible d'y loger une 9 supplémentaire. Bien obligé de passer à 1.

Dit-autrement, il n'y a aucun nombre entre 0,999 et 1, c'est donc que ces deux nombres sont deux écritures différentes du même nombre.

 

Constat 1

Soit

1 / 3

=

0,333…

Mult.  par 3

3 / 3 = 1

=

0,999 …

 

 

Constat 2

Soit

1 / 9

=

0,111 …

Suivant

2 / 9

=

0,222 …

 

 

 

Finalement

9 / 9 = 1

=

0,999 …

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639.            Quantité de premiers

 

Compter les nombres premiers

La fonction Pi(n) indique quelle est la quantité de nombre premiers inférieure à n, ce nombre compris.

Ainsi, en comptant les nombres premiers jusqu'à 10, on trouve: 2, 3, 5, 7 et P1(10) vaut  4.

Il est possible de les compter rigoureusement jusqu'à une certaine limite. Ensuite, la quantité est estimée avec Pi(n) proche de  n / ln(n).

 

Curiosité unique

 

Exemple avec le nombre 100

 

 

100 est le vingt-cinquième nombre premier, et

541 est le centième.

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>>> Quantité de nombres premiers

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