NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Maths en se divertissant

 

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Atlas des maths

 

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Page 36 (700-719)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 35

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

680.            Pyramide et tétraèdre

 

On compare le tétraèdre et la pyramide à base carrée pour lesquels les triangles équilatéraux des faces sont identiques.

Soit c la longueur des 14 côtes.

 

À faces égales, le volume de la pyramide est le double de celui du tétraèdre.

 

Brèves associées

>>> Sphère et cylindre – Archimède

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Pyramide à base carrée

>>> Tétraèdre

 

 

681.            Trois cercles dans un rectangle

Problème

Trois cercles dont le central tangent aux deux autres, et tous les trois sont tangents au rectangle.

Quelle est la longueur du segment AB ?

Solution

Avec le théorème de Pythagore:

La somme:

Brèves associées

>>> Cercles dans le carré

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Trois cercles tangents

>>> Sangakus

 

 

682.            Cinq quadrilatères – Van Aubel

 

Construction

Un quadrilatère quelconque (vert).

Un carré apposé sur chaque côté vers l'extérieur.

Leurs diagonales et leur centre.

 

Propriétés: théorème de Van Aubel (1878)

Les deux segments joignant les centres opposés ont même longueur et ils sont perpendiculaires.

Si deux côtés sont alignés, le quadrilatère devient triangle et la propriété est conservée.

Si la quadrilatère est un parallélogramme, les quatre centres forment un carré. Théorème de Thébault (1937)

 

Brèves associées

>>> Quadrilatère – Centre de gravité

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Théorème de Napoléon

>>> Carrés

>>> Quadrilatères

 

 

 

683.            Théorème de Bottema

 

Construction

Un triangle quelconque (vert).

Un carré apposé sur deux côtés vers l'extérieur.

Le segment joignant deux sommets opposés

 

Propriétés: théorème de Bottema (1901-1992)

Le point milieu P est fixe quelle que soit la position du point C.

   

Brèves associées

>>> Triangle de Conway

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Triangles – Index

>>> Figure de Vecten

>>> Carrés

 

 

 

 

684.            GAFAM et TRILLION de dollars

 

Grands nombres

1 trillion américain = 1 billion français

= 1 000 milliards = 1012

 

Les cinq grandes sociétés du numérique

 

Chiffre d'affaires le 28 juin 2021

en trillons de dollars

(mille milliards de dollars)

pour les six sociétés en tête

 

Apple

2,249

Microsoft

2,024

Saudi Arabian Oil Co

1,87

Amazon

1,74

Alphabet (Google)

1,67

Facebook

1,008

Total

10,561

Total GAFAM

  8,691

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>>> Quantité de sable dans l'Univers

>>> Brèves Économie – Index

Pour en savoir plus

>>> GAFAM

>>> Trillion

>>> Noms des grands nombres

 

 

 

685.            Cornet de glace

 

Énigme

Un cornet de glace avec fraise, vanille et fraise.

La section plane montre un triangle isocèle surmonté d'un pentagone régulier.

Quelle est la plus grande surface: la rose ou la jaune ?

 

Solution

Les triangles roses (1 et 2) se retrouvent dans la partie jaune. L'aire rose est égale à l'aire jaune.

 

Explications

Les côtés des triangles CDE et FBC sont égaux deux à deux. Les deux triangles sont égaux (superposables).

Les angles BAF et ECF valent 36°. BF = FE = côté du pentagone. Les triangles isocèles ABF et CFE, avec un côté égal et l'angle au sommet égal, sont égaux.

 

Brèves associées

>>> Triangle isocèle

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Énigmes avec le pentagone

>>> Énigmes et jeux – Index 

 

 

 

 

686.            Triangles dans pentagone

 

Énigme

Un pentagone régulier.

Un triangle équilatéral posé sur un côté du pentagone.

Quelle est la valeur de l'angle formé par des deux segments figurés en vert ?

 

Solution

Le pentagone et le triangle ont des côtés de même longueur d'où la création de triangles isocèles.

Dans un triangle isocèle, l'angle à la base vaut la moitié de 360° diminué de l'angle au sommet.

Brèves associées

>>> Cercles dans le carré

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Énigmes avec le pentagone

>>> Angles dans le pentagone

>>> Angles

 

 

687.            Deux cercles tangents

Problème

Deux cercles tangents en T.

Deux sécantes passant par T et coupant les cercles en A, B, C et D.

Montrer que les droites passant par AB et CD sont parallèles.

 

Solution (figure du bas)

On trace la tangente commune en A (verte) et la solution devient évidente.

Application du théorème des angles alternés dans chacun des cercles (interception du même arc):

*      les angles marques 1 sont égaux  (arc AT);

*      les angles marques 2 sont égaux (arc TD).

Or, les angles 1 et 2 en T sont égaux. L'angle en B est égal à l'angle en C.

Même chose pour l'angle en A qui est égal à l'angle en D.

 

Les deux triangles sont semblables et les troisièmes côtés, AB et CD, sont parallèles. 

Brèves associées

>>> Cercles et triangles équilatéraux

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Théorème des angles alternés

>>> Cercles Index

 

 

688.            Nombre 15

 

Somme des premières puissances de 2:

15 = 23 + 22 + 21 + 20  (1111 en binaire)

 

Combinaisons de 6 objets pris 2 par 2 ou 4 par 4. Valeur qui se lit dans le triangle de Pascal.

15 = C62 = C64

 

Somme de nombres consécutifs de 1 à 8:

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

      =                    4 + 5 + 6

      =                                    7 + 8

 

 

Troisième nombre hexagonal

 

 

Préfixes diviseurs et multiplicateurs:

10-15 femto

10 15 péta

Brèves associées

>>> Nombre 14

>>> Brèves Nombres – Index

Pour en savoir plus

>>> DicoNombre 15 – Maths

>>> DicoNombre 15 – Culture 

>>> Triangle de Pascal

>>>  Préfixes pour grands nombres

 

 

689.            Nombre 153 et cubes

 

Stupéfiante somme de cubes: les nombres se retrouvent dans la somme

 & Calcul des deux premières sommes qui montrent que cet effet n'est pas si évident.

Ce type de nombres est dit narcissique et ils ne sont pas nombreux.

 

Suite d'égalités sans fin

 

Calculs

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Pour en savoir plus

>>> DicoNombre 153

>>> Nombres narcissiques

>>> Pépites numériques

 

 

 

690.            Aire mystère du triangle

 

Énigme

 

Inégalité triangulaire

Dans un triangle, la somme des longueurs de deux côtés est toujours supérieure à la longueur du troisième côté.

 

 

Solution

Le calcul semble inabordable. Comment s'y prendre ?

J'entreprends d'en faire le dessin à l'échelle.

 

Eh oui, la somme des longueurs des deux côtés est égale à celle du troisième côté. Il n'a pas de triangle; L'aire est nulle.

 

Note: dans le cas général, la résolution d'un tel problème dit LLL, il faut faire appel à la trigonométrie.

 

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>>> Inégalité triangulaire

>>> Résolution du triangle LLL

>>> Énigmes Index

 

 

691.            Triangle de Kepler

 

Triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont en progression géométrique de raison dorée.

 

Basé sur la relation du nombre d'or qui épouse le théorème de Pythagore:

 

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/TriaRect_fichiers/image087.jpg

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>>> Triangle de Conway

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Pour en savoir plus

>>>  Nombre d'or

>>> Triangle rectangle

>>> Progression géométrique

>>> Triangles Index

 

 

 

692.            Factorielles et files indiennes

 

La maitresse demande aux élèves de se placer à la file indienne.

Combien de dispositions possibles avec 2, 3, …, k élèves ?

Réponse avec la diapositive créée par Nathan 8 ans.

 

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>>> Brèves Compter – Index

Pour en savoir plus

>>>  Factorielles – Introduction et Index

>>> Dénombrement Index

 

 

693.            Théorème de la carpette

 

Tapis circulaires

Le sol a la forme d'un grand cercle de rayon R.

on y place quatre petits tapis en forme de cercle de rayon r = R/2.
 
 

 

En théorie, ces quatre tapis pourraient donc couvrir exactement la surface du sol. Condition qui permet d'appliquer le théorème  de la carpette.

 

Théorème de la carpette (ou du tapis) – Carpet theorem

Disposés avec recouvrement, la partie de chevauchement (rose foncé) occupe exactement la même surface que les quatre zones blanches non couvertes en périphérie.

 

 

   Aire des zones blanches périphériques

= aire de la rosace en rose foncé.

  

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>>> Sangakus

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Pour en savoir plus

>>> Théorème de la carpette

>>> Pavages

 

 

694.            Triangle dans rectangle

 

Énigme

Un rectangle avec un triangle inscrit. Avec les aires données, calculer l'aire w.

 

Solution

 

 

Tactique  de calcul

Calculer les dimensions u et v avec les aires x et y, puis injecter ces valeurs dans le calcul de z.

 

Brèves associées

>>> Rectangle dans carré – Aire

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Quizz de géométrie (20 problèmes)

>>> Rectangle

 

 

695.            Triangles dans le carré

 

Construction

Un carré, ses points milieux. Les seize segments joignant les huit (plus un) points  du carré.

 

Propriétés

Tous les triangles élémentaires, formés par ces droites, ont des aires proportionnelles.

 

À partir d'un carré de 240 cm², soit 60 cm² pour un quadrant, on y trouve des triangles avec des aires de : 2, 3, 5 et 10 cm².

 

Pour information
Côté du carré:

Diagonale du carré:

 

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Pour en savoir plus

>>> Carré

>>> Compter les segments

 

 

696.            Sangaku à deux cercles

 

Construction

Un triangle rectangle, son carré inscrit sur les côtés de l'angle droit et des deux cercles inscrits dans les deux triangles résultants.

 

Propriété

 

Démonstration

Calcul de l'aire du triangle supérieur de deux façons  en fonction de r et injection de R par relation de similitude.

 

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>>> Sangaku à deux cercles tangents

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Démonstration de ce Sangaku

>>> Sangakus

 

 

697.            Fractions – Nombres consécutifs

 

Solutions de (3, 5, 4):

 

Deux seules solutions:

 

Avec (1, 2, 3) : 1 solution

 

Avec (2, 3, 4) : 1 solution

Avec (3, 4, 5) : 2 solutions

 

Avec (4, 5, 6) : 1 solution

Brèves associées

>>> Fractions avec des briques type Lego

>>> Brèves Opérations – Index

Pour en savoir plus

>>> Fractions unitaires

>>> Calcul – FractionsIndex 

 

 

 

698.            Rectangle inscrit

Énigme

Un triangle rectangle et un rectangle inscrit dans son angle droit,  éloigné de 10 et 5 par rapport aux deux autres sommets du triangle.

 

Propriétés

 

L'aire du rectangle est toujours égale au produit 10 x 5 = 50.

 

L'aire minimale du triangle est obtenue pour x = 10 et  y = 5, les valeurs d'éloignement.

 

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>>> Rectangle divisé en neuf, périmètre

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Pour en savoir plus

>>> Théorème de Thalès et ses applications

>>> Théorème de Thalès

 

 

 

699.            Loi des cosinus

Loi des cosinus

Dans tout triangle:

 

 

Application

Quel est l'angle C du triangle tel que:

 

 

Triangle quelconque

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/RelQuel_fichiers/image077.jpg

 

Calculs

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>>> Triangle quelconque ou scalène ?

 

 

 

 

 

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