NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Page 36 (700-719)

Page 37 (720-739)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 36

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

700.            Pentagone et 10/17

 

Construction approchée particulièrement simple à réaliser avec une règle graduée et un compas.

 

Construction

*    Sur l'axe vertical marquer B en (0, 10) et C en (0, -7)

*    Cercle (B, BC). Intersection en D et E avec la droite horizontale en A.

*    L'angle DBE est pratiquement celui du pentagone régulier à 0,6 pour mille près.

  

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>>> Constructions approchées du pentagone

>>> Mesures dans le pentagone

 

 

701.            Nombre 16

 

Puissance de 2 et de 4

16 = 2 x 2 x 2 x 2    = 24  (1000 en binaire)

       = 4 x 4                = 42

                                   = 22 x 22

 

Nombre faute de frappe

16 = 24 et 16 = 24 en base 6 (16 = 2 x 6 + 4)

 

Deux nombre successifs qui produisent des palindromes:

16 + 17   =   33

16 x 17   = 272

16² + 17² = 545

 

Un pentagone dont les côtés sont prolongés découpe le plan en seize régions

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/PolyRegi_fichiers/image029.jpg

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>>> DicoNombre 16 – Maths

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>>> Palindromes

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702.            Figure du moulin à vent

 

Construction

Triangle ABC et carrés extérieurs sur les côtés avec J, K et L pour centres.

 

Le triangle JKL est le triangle de Vecten et son cercle circonscrit est le cercle de Vecten.

 

Le point de concours des droites JB, KA et LC est le point de Vecten extérieur.

 

Propriétés

Les droites JB, KA et LC sont les hauteurs du triangle de Vecten. Le point M est son orthocentre.

 

Les deux triangles (ABC et JKL) ont même centre de gravité.

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703.            Bissection du périmètre du triangle

 

But

Partager le périmètre du triangle en deux parties égales. Créer deux triangles de même périmètre à partir du triangle d'origine.

 

Construction 1

Triangle ABC.

Cercle (A, BC). Intersection E.

Cercle (B, AC). Intersection D.

Relier C au milieu de DE.

Les triangles CJA et CJB ont le même périmètre.

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704.            Bissection de la surface du triangle

 

But

Partager la surface du triangle  en deux parties égales. Créer deux triangles de même aire à partir du triangle d'origine.

 

Commentaire

Les trois médianes font l'office. Ce sont les trois seules droites passant par les sommets qui bissectent l'aire du triangle.

 

Sinon, d'une manière générale, il existe une infinité de droites qui partagent le triangle en deux, comme illustrée sur cette figure.

 

Ces droites sont toutes tangentes à trois hyperboles dont les asymptotes sont les droites portant les côtés du triangle.

 

Source image Triangle Area Bisectors – Wolfram

Démonstration interactive

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705.            Cardinal et Ordinal

 

Le cardinal d'une collection d'objets, c'est la quantité totale d'objets dans cette collection, comptés dans n'importe quel ordre.

J'ai dix voitures.

10 est un nombre cardinal.

 

L'ordinal est associé à un classement, à une place parmi les autres. Les objets sont mis en ordre.

C'est aussi la quantité d'objets avant lui, lui compris. S'il est troisième, c'est qu'il y en a deux avant lui.

Je préfère la troisième voiture.

3 est un nombre ordinal.

 

 

Cardinal et ordinal en un dessin

 

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>>> Cardinaux et ordinaux

>>>  DicoMot Math – Lettre C

 

 

706.            Carré dans le triangle rectangle

 

Dimensions du carré inscrit dans un triangle rectangle ?

 

Le long des côtés de l'angle droit

Triangles semblables ABC et HEC:

 

Le long de l'hypoténuse

Triangles semblables ABC, EBD et FHC:



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>>>  Carré

 

 

707.            Triangle rectangle et cercles

Cercle inscrit et cercle circonscrit du triangle rectangle

 

Les formules exprimant les rayons sont particulièrement simples.

 


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708.            Expression de degré 7

Problème

Avec la condition indiquée, démontrer cette identité avec degré 7 au numérateur et degré 4 au dénominateur.

 

Solution (principe)

Développer (a + b + c)k pour k = 2, 3, 4 et 7.

Mettre à zéro les termes comprenant le facteur (a + b + c).

Un peu d'astuce sera nécessaire !

 

  

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>>> Résolution de ce problème 

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709.            Nombre 56

56 = 23 x 7 = 8 x 7 = 4 x 14

Notez la succession des quatre chiffres. Un bon moyen pour mémoriser cette multiplication, très souvent récalcitrante !

 

56 = 2² + 4² + 6²

56 phalanges pour les quatre membres du corps humain:

2 x 14 pour les mains (illustration), et 2 x 14 pour les pieds.

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>>> DicoNombre 56 

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710.            Formule de la relativité

 

Observateur mobile

Un observateur dans un train.
Un émetteur de lumière au sol. Célérité (vitesse) de la lumière c.

La lumière est réfléchie par un miroir au plafond à une hauteur h.

Pour lui, le temps de parcours de la lumière est:

 

Observateur immobile

Un observateur sur le quai observe le train qui passe à la vitesse V. Trois situations:

*      1) la lumière est émise

*      2) la lumière est réfléchie, le train avancé.

*    3) la lumière est reçue, le train a encore avancé

Pour cet observateur extérieur, la lumière semble parcourir un triangle isocèle. Elle "effectue" le trajet 2a en T' seconde.


 

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711.            Nombre 5040 et ses diviseurs

Facteurs du nombre 5 040

Diviseur de 5 040

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040.

 

Quantité de diviseurs: 60

Somme des diviseurs: 19 344

 

La cascade des diviseurs

Le nombre 5 040 a 60 diviseurs; lequel 60 a 12 diviseurs; lequel a ….

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPMULTI/Ordinair_fichiers/image049.jpg

  

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712.            Théorème des 15

 

Image de tous les entiers

Le théorème des quatre carrés de Lagrange énonce que tout nombre entier est la somme de quatre carrés:

n = x² + y² + z² + t²

 

Un tel polynôme est dit:

*      quadratique (de degré 2), et

*      universel (représente tous les entiers).

 

Outre celui de Lagrange, il existe 54 polynômes quadratiques universels, qui sont capables de représenter tous les nombres entiers positifs.

 

 

Théorèmes des 15

Comment reconnaitre ces polynômes qui représentent tous les entiers ?

 

Un théorème qui date du siècle dernier indique qu'il suffit que le polynôme représente les nombres de 1 à 15, et cela suffit pour qu'il représente tous les nombres.

 

Mieux, il suffit qu'il représente seulement neuf de ces nombres:

 

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>>> Théorème de Lagrange

 

 

713.            Nombre 211, équilibré

Un nombre premier équilibré est situé à égale distance des deux premiers qui le précède et le suive.

Ainsi avec les trois nombres premiers successifs {199, 211, 223}, l'intervalle de chaque côté de 211 vaut 12. 

 

Ce nombre 211 est le plus petit premier équilibré avec un écart (E) de 12.

Il faut atteindre 16 787 pour avoir le record suivant avec un écart de 24, puis 69 623 pour un écart de 30, etc.

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714.            Angles de l'heptagone étoilé

Énigme

Un heptagone étoilé irrégulier.

Quelle est la somme A de tous les angles marqués en bleu?

 

Solution

Dessiner le contour de l'heptagone.
La somme des angles internes vaut 5
.

 

Les sept triangles comme le bleu ou le vert cumulent des angles qui valent 7.

 

Or, tous ces triangles forment bien la totalité des angles internes de l'heptagone avec, toutefois, un doublement des angles bleus (chevauchement triangle bleu et triangle vert).

 

Soit la valeur des angles bleus:

Angles bleus = 180°

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715.            Puissances de 2 en 3 et 6

 

Recherche

Recherche des puissances de 2 dont les derniers chiffres sont 3 ou 6.

 

On utilise la propriété suivante:
Sachant que 10n = 2n × 5n, on déduit que les nombres de la forme 10na + b sont divisible par 2n si et seulement si le nombre b l'est.

 

Alors, on teste la divisibilité des nombres en 3 et 6 de plus en plus grand, divisibles par les puissances de 2 successives.

 

Les plus petites puissances de 2 en 3 et 6

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716.            Aire des bandes dans le triangle

 

Énigme

Un triangle quelconque lardé de bandes, parallèles à un côté et de même largeur.

Quelle est le rapport entre les aires des bandes bleues et des bandes roses?

 

Solution

La solution est simple ! Elle consiste à faire une copie du triangle et de l'accoler par un des côtés.

Alors, les bandes sont prolongées et toutes sont des parallélogrammes de même aire.

Il y a cinq bandes bleues et quatre bandes roses. Le rapport est alors:

Ce rapport calculé pour le grand parallélogramme est conservé pour le triangle initial qui représente sa moitié.

 

Note

Cette astuce ne fonctionne que pour un nombre impair de bandes. La bande du bas doit être accolée à une bande du haut de même couleur.

  

 

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717.            Nombres premiers équilibrés

Définition et exemple

Un nombre premier équilibré est égal à la moyenne arithmétique de ses deux voisins immédiats.

Le nombre premier 53 est voisin des nombres premiers 47 et 59, situés à égale distance de lui-même.

Records, avec E = écart entre premiers

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718.            Aire du rectangle dans le triangle

Énigme

Un triangle rectangle et un rectangle inscrit. On ne connait que les deux mesures indiquées.

Quelle est l'aire du rectangle ?

 

Solution

On compare

*    la somme des aires du rectangle et des deux petits triangles et

*    l'aire du triangle complet.

 

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719.            Ligne brisée rectangulaire

 

Problème

Soit cette ligne brisée fermée comportant trois angles droits.

Est-il possible de déterminer les longueurs x et y ?

 

Solution (figure du bas)

  

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