NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Maths en se divertissant

 

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BRÈVES de MATHS

 

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Brèves

 

Atlas des maths

 

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BRÈVES de MATHS – Page 37

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

720.            Médianes du triangle

 

Construction

Un triangle.

Ses médianes (pointillés verts) qui se coupent en un point G (le centre de gravité).

Les parallèles aux côtés passant par G.

 

Propriétés

Les triangles bleus ont tous la même aire, de même que tous les parallélogrammes ocres.

Les trapèzes formés par deux ocres et un bleu ont la même aire. De même que les triangles avec deux bleus et un ocre.

  

Brèves associées

>>> Bissection du triangle

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Pour en savoir plus

>>> Médianes et partage du triangle

>>> Triangles Index

 

 

721.            Jamais PREMIER
              ou composé stable

 

Formation des nombres

À partir d'un nombre –racine (ici 326), chacun des chiffres est modifié pour former 3 x 10 = 30 nombres (Voir tableau).

En fait, 28 car la racine est répétée trois fois.

 

Nature des nombres

La probabilité de trouver des nombres premiers parmi ces 28 nombres est grande.

Pourtant, il existe des nombres-racines pour lesquels aucun nombre n'est premier. C'est le cas pour cet exemple avec 326.

 

Plus petit

Le plus petit de ces nombres jamais premier par modification est 200.

Le sort des deux colonnes de gauche est vite réglé. Ce sont tous des nombres divisibles par 10.

Sur la colonne de droite, en éliminant les nombres divisible par 2, restent quatre nombres dont trois sont vite identifiés comme divisibles par 3; le dernier est divisible par 7.

Conclusion: tous ces nombres sont composés.

 

Nombre 326

 

Nombre 200

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Pour en savoir plus

>>> Jamais-premier par modification

>>> Nombres composés

 

 

 

722.            Tangente à deux cercles

 

Problème

Deux cercles tangents. Une droite tangente aux deux cercles. Le triangle ABT avec les points de tangence pour sommets.

Quelle est la valeur de l'angle ATB ?

 

Solution

Les segments de tangente à un cercle, issue d'un même point, sont égaux. (isométriques).

MA = MT = MB

Si M est le centre d'un cercle de rayon MA, alors B et T sont sur ce cercle.

AB est le diamètre et le triangle ABT, inscrit dans le demi-cercle, est rectangle en T.

 

 

 

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>>> Deux cercles tangents

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Pour en savoir plus

>>> Théorème des angles alternés

>>> Cercles Index

 

 

 

723.            Taille du triangle isocèle

 

Problème

Un triangle équilatéral de côté 10 cm.

Trois triangles isocèles identiques dont la somme des aires est égale à celle du triangle équilatéral.

Quelle est la longueur du côté du triangle isocèle ?

 

Solution

On commence par flanquer les triangles isocèles avec leur base sur les côtés du triangle équilatéral.

Puis, on dessine les symétriques par rapport aux droites supportant les côtés du triangle équilatéral.

 

Si la somme des trois aires est égale à celle du triangle équilatéral, c'est que les trois triangles isocèles se réunissent au centre de gravité.

La longueur du côté est alors:

 

La figure forme un hexagone régulier.

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>>> Brèves Géométrie – Index

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>>> Triangle équilatéral

>>> Triangle isocèle

>>> Hexagone

>>> Centre de gravité du triangle

 

 

 

724.            Aire mystère du pentagone

 

Énigme avec ces trois carrés

Calculer l'aire de la zone bleue.

 

 

 

 

Solution

Dessiner le trait pointillé vert.

Grand triangle: (10 + 6) ( 10 + 6 – 2) / 2 = 112

Rectangle rose à retirer: 6 x 8 = 48

Petit triangle à ajouter: 8 x 8 / 2 = 32

Aire du pentagone bleu: 112 – 48 + 32 = 96

 

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>>> Aires

>>> Énigmes Index

 

725.            Calcul avec des logarithmes

 

Une expression en log pour x (x = logarithme de 2 en base 12) et une autre pour y (y = logarithme de 72 en base 6).

 

Comment exprimer y en fonction de x ?

 

D'abord effectuer un changement de base.

 

 

   

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Pour en savoir plus

>>> Calculs avec les logarithmes

>>> Logaritmes – Bases

 

 

726.            Calcul avec des racines

Cette équation semble impossible à résoudre.

Voici une piste.

 

Voir le lien pour la solution algébrique. 

 

Solution immédiate (avec intuition de que 2 + 1 = 3)

 

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>>> Brèves Algèbre – Index

Pour en savoir plus

>>> Solution complète de cette équation

>>> Division des ponynômes

 

 

727.            Énigme de l'échelle et du mur

Énigme

Une échelle de 4 m est appliquée à un mur. Elle s'appuie sur un cube de 1m de côté.

Quelles sont les longueurs x et y ?

 

Solution

Après calcul, on montre que: x = 0,362… et y = 2,7609…

L'énigme semble simple et pourtant elle requiert de l'astuce pour la résoudre !

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Pour en savoir plus

>>> Solution complète de cette énigme

>>> Deux échelles

 

 

728.            Paradoxe de la corde soulevée

 

Énigme

Une corde est enrouée autour du cercle. Son périmètre est allongé d'une petite longueur E.

La corde est maintenue tendue par un poteau de hauteur h.

Quelle est la longueur de ce poteau ?

 

Solution

Le calcul de la solution fait appel à la trigonométrie et produit ce résultat pour h très petit par rapport à R:

Exemple:

Cas de la Terre avec E = 1 m, alors h atteint plus de 121 m.

 

 

Rayon de la Terre: 6 378 125 m

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>>> Paradoxe de la corde tendue

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Pour en savoir plus

>>> Calcul complet pour ce paradoxe

>>> Tangente

>>> Terre

 

 

729.            Triangles de Pythagore

 

Triangle rectangle de Pythagore

Ce sont les triangles dont les côtés sont des nombres entiers, autrement-dit, les trois nombres forment un triplet de Pythagore.

Ils sont nombreux; une infinité.

 

Particuliers

Double:       25² = 7² + 24² = 15² + 20²

Quadruple: 65² = 16² + 63² = 25² + 60² = 33² + 66² = 39² + 69²

 

 

Théorème de Fermat

L'aire ces triangles rectangles en nombres entiers n'est jamais un nombre carré.

 

Ce qui veut dire que ce système d'équations n'a pas de solution:

Une conséquence du théorème

La configuration des deux triangles rectangles de cette figure est impossible à résoudre en nombres entiers.

À droite, un exemple de calcul avec le plus petit et le plus célèbre, des triangles de Pythagore.

 

 

  

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>>> Triplets de Pythagore – Divisibilité

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>>> Triangle de Pythagore

>>> Triplets de Pythagore

 

 

730.            Carrés et concaténation

Il existe une grande variété de motifs faisant intervenir la concaténation et les carrés.

 

Par exemple:
12² = 144
20² = 200
     144 200 = 380²

 

Ou encore 4 et 9 sont des carrés et 49 l'est aussi.

 

Les chiffres des deux nombres se retrouvent dans la somme de leurs carrés. Quatre formes possibles:

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731.            Énigme des deux cercles

 

Énigme

Deux cercles de rayon R et 3R. Le petit tourne sur le grand sans glissement. Après rotation, il retrouve sa position de départ.

Combien de tours a-t-il effectué ?

 

Indice

Non ! ce n'est pas trois tours …

C'est la réponse habituelle, mais elle est erronée.

 

Solution

Pour parcourir la circonférence bleue, le cercle jaune doit faire trois tours. C'est vrai.

Mais, pendant ce temps, la pièce roule sans glisser. Elle  est donc en rotation et fait un tour sur lui-même.

La solution: quatre tours.

 

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/CerTourn_fichiers/image009.gif

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732.            Les cubes d'argent de Dudeney

 

Puzzle

Henry Ernest Dudeney (1857-1930), célèbre pour ces énigmes, propose de trouver  les dimensions de deux cubes d'argent dont le volume total est 17 cm3.

Autrement-dit, il faut trouver une paire de nombres rationnels (des fractions) tels que la somme de leur cube soit 17.

Dudeney prévient que ce sera très dur.

 

Recherche

La recherche des nombres sommes de deux cubes rationnels peut être effectuée par programmation. Il faut un ordinateur puissant.

Ou alors, en utilisant des identités telles que, connaissant une solution, on en déduit d'autres. C'est le cas avec l'identité de Fermat.

 

Somme de deux cubes rationnels pour 17

 

Identité de Fermat

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733.            Irrationnel ?

On trouve ce genre de question sur Internet: est-ce que cette expression avec des radicaux est irrationnelle ou non ?

 

Pour calculer ce type d'expression, il faut se souvenir de l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab et l'appliquer à des formes avec radicaux.

Voyez cet exemple où les nombres entiers s'ajoutent en masque le carré.

  

 

Pour les experts, notez que le radical indique que l'on sélectionne la racine carrée positive.

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734.            Rectangle en carré

 

Problème

Quel est le périmètre du carré que l'on peut former avec ces quatre pièces ?

 

Solution

On va montrer que la longueur du rectangle est 16.

 

Son aire sera donc 9 x 16 = 144 = 12².

Et le côté du carré sera 12.

 

Longueur du rectangle

Dans le triangle vert, le troisième côté:

 

a² = (10 + 5)² – 9²

    = 225 – 81 = 144 = 12²

 

Triangles semblables

 

Longueur du rectangle

L = 4 + 12 = 16

Figure initiale du rectangle

 

Figure finale du carré

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735.            Triplets jumeaux de Pythagore

 

Observations

Les triplets de Pythagore sont de la forme:
a² + b² = c².

Ils sont jumeaux si c = b + 1. 

 

Formule

Tous les nombres impairs (a = 2n + 1) sont à l'origine d'un triplet.

Il existe une formule toute simple pour les trouver:


; ;

 

Trouver b et c pour a = 21

Ou plus directement : b = 1/2 (a² – 1)  = 440/2 = 220

  

 

Triplets jumeaux (les cinq plus petits)

 

 

Propriété remarquable

 

a² = c² – b² = c + b

  = 13² – 12² = 13 + 12

7² = 25² – 24² = 25 + 24

 

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736.            Bissectrice de l'angle droit

 

Problème

Comment construire la bissectrice d'un angle droit ?

 

Construction

Construire un triangle rectangle, avec une hypoténuse quelconque.

Dessiner le carré sur cette hypoténuse.

Trouver le centre du carré à l'aide des deux diagonales.

Joindre ce point au sommet  de l'angle droit (segment rose).

C'est la bissectrice e l'angle droit

 

Démonstration

Elle est simple dès que l'on a construit le cercle vert.

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737.            Triangle Napoléon

 

Un triangle quelconque (bleu).

Les trois triangles équilatéraux externes sur les côtés.

 

Les segments joignant un sommet "équilatéral" au sommet opposé du triangle quelconque sont de même longueur (ici 21).

 

Le triangle (vert) dont les sommets sont les centres des triangles équilatéraux est un triangle équilatéral.

 

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738.            Énigme n°12 d'Alcuin (735-804)

Propositiones ad acuendos iuvenes Alcuin( vers 800)

Propositions (ou énigmes) d'Alcuin

pour affuter l'esprit des jeunes

Propositions (or problems) by Alcuin

to sharpen the young

Proposition à propos d'un père de famille et de ses trois fils.

À sa mort, un père laisse à ses trois fils 30 cruches de verre dont 10 étaient pleines d’huile; dix autres étaient remplies à moitié; et, les dix dernières étaient vides.

Qui peut partager l’huile et les cruches de façon que chacun des trois fils reçoive le même nombre de cruches et la même quantité d’huile ?

Solution

Il y a trois fils et 30 cruches.

De celles-ci, 10 sont pleines, 10 à moitié pleines et 10 vides.

Avec trois fois dix cruches qui font 30, chaque fils doit recevoir 10 cruches.

Faisons les parts. Soit, au premier fils, on donne 10 cruches à moitié vides ; au deuxième, 5 cruches pleines et 5 vides ; au troisième, comme pour le second, 5 cruches pleines et 5 vides. Alors, le partage sera la même tant en huile qu’en cruches.

Proposition concerning a certain father and his three sons.

A certain father died and left as an inheritance to his three sons 30 glass flasks, of which 10 were full of oil; another 10 were half full, while another 10 were empty.  

Let him divide, he who can, the oil and flasks so that an equal share of the commodities should equally come down to the three sons, both of oil and glass.

Solution

There are three sons and 30 glass flasks.

 However, of the flasks, 10 are full, 10 half full, and 10 empty.  

Take three times 10, which makes 30, so each son shall receive 10 flasks as his portion. 

Divide up the three portions, that is, give to the first son 10 half flasks, to the second son five full and five empty.  Do the same for the third son, and the brothers' portions of glass and oil shall be the same.

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>>> Alcuin

Voir Autres propositions d'Alcuin sur Récréomath ou sur  Mac Tutor

 

739.             Arrondi, planche et plafond

 

Manière de rendre l'approximation d'un nombre pour en réduire la quantité de décimales.

 

ARRONDI: nombre le plus proche avec la quantité de décimales désirée.
Ex: 3, 333… => 3.

PLANCHER: nombre sans les décimales superflues.
Ex: 3, 333… => 3.

PLAFOND: nombre plancher plus 1 sur la dernière décimale.
Ex: 3,333… => 4.

 

Bon à savoir pour un résultat en nombres entiers

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