NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Maths en se divertissant

 

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BRÈVES de MATHS

 

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Atlas des maths

 

Page 37 (720-739)

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Page 40 (780-799)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 39

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

760.            Nombres à anagrammes premières

 

Formation des nombres

À partir d'un nombre, on élabore toutes les combinaisons possibles avec ses chiffres.

Parmi ces nouveaux nombres, on sélectionne les nombres premiers.

 

Nombres multi-premiers par combinaisons

Le nombre 13 offre quatre combinaisons (1, 3, 13, 31) dont trois sont premières.

Le nombre 34 en produit quatre sur quatre.

Le nombre 113 prend le record suivant avec sept premiers sur huit combinaisons. Le nombre 117 le bat avec 11 sur 15.

  

Records

13, 3 / 4, {3, 13, 31}

37, 4 / 4, {3, 7, 37, 73}

113, 7 / 8, {3, 11, 13, 31, 113, 131, 311}

137, 11 / 15, {3, 7, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 137, 173, 317}

1123, 18 / 34, {2, 3, 11, 13, 23, 31, 113, 131, 211, 311, 1123, 1213, 1231, 1321, 2113, 2131, 2311, 3121}

1139, 20 / 34, {3, 11, 13, 19, 31, 113, 131, 139, 191, 193, 311, 911, 1193, 1319, 1913, 1931, 3119, 3191, 3911, 9311}

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>>> Compter les anagrammes des nombres

 

 

761.            Compter les hexagones

 

 

Énigme

Sur cette figure, trois hexagones réguliers enchevêtrés.

Combien d'hexagones comptez-vous: trois ou plus ? Oui, il faut compter tous les hexagones réguliers, ou non.

 

 

Solution

La figure contient douze hexagones.

Ils sont présentés ci-contre.

 

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762.            Chemin sur une grille

 

Énigme

Sur cette grille, quel est le parcours le plus long pour rejoindre les deux points verts ?

 

Solution

Deux sortes de spirales issue de chacun des points.

Le chemin fait alors 22 unités.

 

   

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763.            Pyramide de nombres

 

Nombre pannumérique

Un nombre pannumérique est un nombre formé avec tous les chiffres comme 123456789 ou autres dans le désordre, avec le0 ou non.

Ils sont source d'une grande  variété d'amusements.

 

La somme de ces chiffres étant 1 + 2 + … 9 = 9 x 10/2 = 45, les nombres pannumériques sont tous divisibles par 9.

 

Un des jeux classiques consiste à atteindre un nombre donné en utilisant tous les chiffres dans un jeu d'opérations classiques.
 

Exemples

100 = 123 – 45 – 67 + 89

666 = 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89

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>>> Pépites de nombres

>>> Nombres pannumériques

 

 

764.            Somme des repunits

 

Observation

La somme des repunits successifs (un chiffre, deux chiffres, …) produit un motif répétitif formé principalement de la succession des chiffres.

1 + 11 + 111  + 1111 = 1234

 

Formule de calcul

 

 

Exemple

 

  

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>>> Redigits

 

 

 

765.            Partitions à trois termes

 

Exemple avec le nombre 5

Il existe sept partitions du nombre dont cinq comportent jusqu'à trois termes (sommants).

 

 

Théorie

Il existe une formule pour calculer la quantité de sommants pour de telles partitions en fonction de n.

 

Curiosité

Cette spirale hexagonale liste toutes les quantités successives de ces partitions: nombres en bleu.

1, 2, 3, 4, 55, 7, 8, 10, 12, 1410, 16, 19, 21, 24, 2715

 

Une spirale simple représentative de la partition des nombres en trois termes au plus

 

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766.            Triangles entiers

 

Triangle entier

Un triangle entier est un triangle dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers. Tout triplet de trois nombres entiers (a, b et c) est éligible à condition de respecter l'inégalité triangulaire: a + b > c avec a et b les deux plus petites longueurs.

 

Tripartition

En conséquence, si n = a + b + c est le périmètre du triangle, toutes les partitions de n sont éligibles sous la même condition.

Pour le nombre 9, trois telles partitions existent, soit trois triangles entiers de périmètre 9.

*      (3, 3, 3) – équilatéral,

*      (1, 4, 4) – isocèle, et

*      (2, 3, 4) – quelconque.

Les trois triangles entiers de périmètre 9

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>>> Inégalité triangulaire

 

 

767.            Produit, pizza et escalier

 

Produit

Bipartition de n: sommes de deux nombres = n.

Quel est le produit maximum de toutes les bipartitions des nombres ?

Exemples

*      Pour n = 5, on aura 2 + 5 et le produit 2 x 3 = 6.
Pour un nombre impair en 2k + 1, les deux nombres de la bipartition sont k et k+1.

*      Pour n = 6, on aura 3 + 3 et le produit 3 x 3 = 9.
Pour un nombre pair, les deux nombres sont n/2 et le produit maximum est un carré.

Pizza

Cette suite est aussi la quantité maximale de parts de pizza produites par n = c + 2 coupes successivement parallèles et perpendiculaires.

Exemple avec 4 coupes, n = 6 et la suite donne 9, comme le montre aussi la figure.

 

 

Escalier

Cette suite est aussi la quantité de blocs au rang n + 1  dans un escalier progressant par double-marche.

Pour n = 8 rangs, on a 20 blocs (petits carrés), confirmé au nombre n°9 de la suite.

   

 

Suite des produits maximums

0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49,  … = plancher (n² / 4)

 

 

 

 

 

 

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768.            Règle du parallélogramme 

 

Construction

Un parallélogramme quelconque (jaune).

Les quatre carrés (roses) construits sur ses côtés (L et l ) et les deux carrés (bleus) construits sur les diagonales. 

 

Règle du parallélogramme 

Somme des aires des carrés des côtés

= somme des aires des carrés des diagonales.

 

Plus simplement (moins imagé)

Dans un parallélogramme, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales.

 

L²+ l² + L² + l² = 2 (L² + l²) = d² + D²

 

Illustration

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/QuadParF_fichiers/image007.jpg

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>>> Parallélogramme, toutes les formules

 

 

769.            Intégrale amusante: ln et exp 

 

Propriétés

Les graphes des fonctions y =  exp(x) et y  = ln(x) sont symétriques.

La dérivée de l'exponentielle est égale à elle-même, de même pour l'intégrale.

 

Aire sous les courbes

Les aires montrées en jaune sont égales (en valeur absolue) et elles correspondent aux intégrales:

Comment les calculer ? Celle avec l'exponentielle est la plus simple. En effet:

 

Graphe

Chacune des aires sous courbe (en jaune) vaut 1

 

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770.            Calcul trigonométrique: cosinus 

 

Montrer que

 

Outils

Relations sur la somme des angles:

  

Vérification avec Maple (Pour info)

L'instruction combinée à utiliser:

combine(simplify(convert(convert(expand(E), tan), sincos)))

 

Calcul de E

Différence de ces deux expressions:

 

Calcul de F

Même type de calcul avec la somme:

 

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771.            Crible de Moessner

 

Construction des puissances des nombres

Le procédé est valable pour produire les puissances des nombres par simple remplissage d'un tableau au prix de sommations ciblées.

Après avoir rempli la première ligne avec des "1", on calcule la deuxième ligne en faisant simplement l'addition du nombre du haut avec celui de gauche.

Cette opération est répétée pour la ligne suivante en ignorant un nombre sur k pour calculer la puissance kième.

Même chose pour les lignes suivantes, en ignorant un nombre supplémentaire.

Des triangles se forment et le procédé s'arrête à complétion de ces triangles.

 

 

Le triangle  des cubes

 

Ligne 0: suite de "1".

Ligne 1: somme des nombres "haut" + "bas".

Ligne 2: même type de sommes en ignorant un nombre sur trois.

Ligne 3: sommes poursuivant la construction des triangles, donc en ignorant un nombre supplémentaire.

Arrêt lorsque les triangles sont complets. En l'occurrence, les nombres du bas sont les cubes des nombres entiers successifs.

 

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772.            Problème de Josèphe

 

Historique (légende ?)

Josephus Flavius est un  historien juif du premier siècle (v.34-v100). Il est prisonnier des Romains dans une cave de Yodfat  (nord d'Israël actuel) avec quarante soldats.

Ceux-ci préfèrent se suicider plutôt que de se rendre. Décision est prise que chacun tuera le troisième à sa gauche et le dernier le fera lui-même.

Josephus, ne voulant pas mourir, trouva la place à occuper pour être le dernier. En l'occurrence, la place 31.

 

Notoriété

Ce problème a été exploité sous diverses formes par les créateurs d'amusements mathématiques.

Sa résolution par récurrence est un sujet classique de programmation.

 

 

Le défi

Cinq soldats sont rangés en cercle (S1, S2, S3, S4  et S5).

Ils doivent être exécutés les uns après les autres en épargnant un soldat sur deux jusqu'à ce qu'il n'en reste qu'un seul.

L'un d'eux est désigné pour être épargné. Mais, à lui de choisir la bonne place.

 

Solution

En périphérie du cercle, les nombres indiquent l'ordre d'exécution: S2, S4, S1, S5 et S3. Le soldat en position 3 sera sauvé.

 

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773.            Nombre 2 187

 

Le nombre 2 187 est la puissance septième de 3.

2 187 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 37

 

Avec cette propriété, ce nombre n'ayant aucune composante en puissances inférieures à 7, s'écrit:

10 000 000 en ternaire (base 3).

 

Quelques opérations remarquables:

9 999 – 2 187 = 7 812

2 187 = 27 x 81

1 827 = 21 x 87

2 187 = 37 = 93 + 93 + 93
= 3x93 = 3x36 = 37

 

  

Somme qui possède les mêmes chiffres que le terme ajouté à 2187.

 

 

Martin Gardner

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774.            Calcul de sommes d'inverses (1)

 

Exemple: calculez (avec astuces !)

 

On remarque que, par exemple:

 

En appliquant à toutes les fractions:


 

Propriété

 

Formule générale

 

Exemple

 

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775.            Calcul de sommes d'inverses (2)

 

Exemple: calculez (avec astuces !)

 

On remarque que, par exemple:

 

En appliquant à toutes les fractions:


 

Propriété

 

Formule générale

 

Exemple

 

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>>> Somme de d'inverses de produits

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776.            Zéros et puissances de 10

 

Puissances de 10

Les puissances de 10 sont le produit de deux facteurs: 10k = 2k × 5k.

 

Parmi elles, quelles sont celles dont les deux facteurs sont sans "0" ?

Il en existe seulement dix:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 18 et 33}

 (Voir tableau).

 

Puissances de 2

Les puissances {10, 11, 12, 17, 20, 21, 22, 23, …} contiennent des "0".

 

Puissances de 10

À partir de 33, toutes les puissances de 5 contiennent un "0".

 

Puissances de 10 sans "0" dans ses facteurs

10 = 2 × 5

102 = 4 × 25

103 = 8 × 125

104 = 16 × 625

105 = 32 × 3 125

106 = 64 × 15 625

107 = 128 × 78 125

108 = 256 × 390 625

109 = 512 × 1 953 125

1010 = 1 024 × 9 765 625

1011 = 2 048 × 488 28 125

1012 = 4 096 × 244 140 625

1013 = 8 192 × 1 220 703 125

1014 = 16 384 × 6 103 515 625

1015 = 32 768 × 305 17 578 125

1016 = 65 536 × 152 587 890 625

1017 = 131 072 × 7 629 394 53 125

1018 = 262144 × 3 814 697 265 625

...

1033 = 8 589 934 592 ×

                  116 415 321 826 934 814 453 125

 

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777.            Nombres de 1 à 33

Déficients, parfaits ou abondants

 

Propriété des nombres face la somme de leurs diviseurs stricts (sans compter le nombre lui-même).

La droite verte représente les nombres.

En bleu, les nombres avec somme inférieure, les nombres déficients.

En rouge, les abondants.

En arc-en-ciel, les nombres parfaits.

Sur la droite pointillée, les puissances k de 2, dont la somme des diviseurs vaut 2k – 1, un nombre de Mersenne.

 

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778.            Manipulation de polynômes

 

Défi

Trouver la valeur de l'expression à la puissance 4, connaissant les deux autres.

On ne demande pas de calculer les valeurs de a, b et c. Comment s'y prendre ?

 

Solution

 

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(Ce problème et un plus difficile …)

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779.            Théorème de Pythagore Réciproque

 

Trois visions du théorème de Pythagore

Démonstration visuelle de l'inverse du théorème de Pythagore

 

Triangle rectangle du haut: le cas classique du théorème de Pythagore.

Toutes les mesures sont divisées par ab pour obtenir le triangle rectangle du bas.

 

Le théorème de Pythagore s'applique aux nouvelles mesures.

 

La relation ah = bc qui donne h en fonction de a, b et c dans le triangle rectangle complète l'égalité.

 

 

Deux triangles semblables dans un rapport 1/ab

 

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