NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Maths en se divertissant

 

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BRÈVES de MATHS

 

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Brèves

 

Atlas des maths

 

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BRÈVES de MATHS – Page 40

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

780.            Aire du poisson

 

Énigme

Un carré (bleu) de côté a. Un grand quart de cercle

(A; R = a). Deux petits demi-cercles (M et N; R = a/2).

 

La figure en jaune, qui ressemble à un poisson, est partagée en deux parties A et B. Comparez les aires.

 

Solution

 

 

Alex Bellos cite cette énigme

sous le nom: L'aile et la lentille

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>>> Aires des figures dans les cercles

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781.            Points dans le carré

 

Problème

Un carré de côté 1.

Cinq points internes ou sur le périmètre.

 

Montrer qu'il existe au moins une paire de points éloignés au maximum de

 

Solution

Dessiner les médianes qui partagent le carré en quatre carrés identiques.

Avec quatre régions à remplir avec cinq points, selon le principe des tiroirs, il existe au moins deux points dans le même petit carré.

Or, la longueur de la diagonale du petit carré est .

 

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782.            Intégrale amusante avec sinus 

 

Propriétés

Les graphes des fonctions y =  sin(x) et y  = arcsin(x) sont symétriques.

Comment calculer l'aire bleue ?

 

Aire sous les courbes

Zone bleue  = rectangle sous pointillés verts – zone jaune

 

Primitive  de sinus = – cosinus

 

 

 

Graphe

Chacune des aires sous courbe (en bleu et en jaune)

vaut 0,570…

 

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>>> Calcul intégral

>>> Primitives

 

 

 

783.            Somme symétrique des entiers

 

Exemples de sommes

La somme symétrique des entiers centrée sur n est le carré de n.

 

Mécanisme de formation du carré

Formule

1 + 2 +… + (n–1) + n + (n–1) +…+ 2 + 1 = n²

  

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>>> Somme des entiers – Calculs

>>> Sommes des entiers – Introduction

 

 

784.            1 + 1/2 + 1/3 + … 1/n: entier ?

 

Problème

 

Montrer que:

 

n'est jamais un entier 

pour n un entier positif.

 

 

Solution

Mettre toutes les fractions au même dénominateur.

          Exemple 

 

Tous les termes au numérateur sont pairs sauf le dernier. La somme est impaire.

Le dénominateur est pair.

L'un ne peut pas diviser l'autre.

L'expression n'est jamais un nombre entier.

 

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Pour en savoir plus

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>>> Types de nombres – Index

 

 

785.            Horloge en 8

 

Horloges en "8"

Horloges sur lesquelles on a remplacé les nombres ordinaires par des expressions mathématiques.

Ici, application d'un jeu qui consiste à obtenir un nombre donné avec un minimum de "8".
Comme:
1000 = 8 + 8 + 8 + 88 + 888

 

Simplification des calculs sur le cadran

Remplacer les 8 par des 1, sauf le deuxième 8 dans une multiplication et faites le calcul simple:
Comme:
(88 + 8) / 8 = (11 + 1) / 1 = 12

 

Horloges à cadran mathématique

Parfois, concours d'ingéniosité pour trouver une expression algébrique à deviner.
Comme:
 

 

Les aiguilles d'une horloge en démonstration montrent souvent une heure voisine de 10h 10 qui, sans doute, rappelle le sourire.

 

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>>> Horloge romaine – Énigme

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>>> Horloges mathématiques 

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>>> Faire 1000 avec des "8"

>>> Nombre 8

 

 

786.            Somme de carrés de sinus

 

Calcul d'une somme qui parait inatteignable. Un peu de réflexion et l'astuce paie !

On utilisera deux propriétés trigonométriques:

sin²(a) + cos²(a) ) = 1 et sin(a) = cos(90° – a)

 

Rappel: sin(45°) = cos(45°) = rac(2)/2 et son carré vaut 1/2.

  

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787.            Cercle externe au triangle

 

Problème

Un triangle isocèle (9, 9, 6).

Un cercle tangent externe à la base.
Quel est son rayon ?

 

Résolution par calculette

 

 

Résolution littérale

   

Ce calcul est de niveau supérieur.

Il fait intervenir la notion arcsinus: la fonction réciproque du sinus qui indique la valeur de l'angle connaissant le sinus.

Encore mieux, ici c'est la tangente d'un arcsinus, la tangente d'un angle (thêta) que l'on ne connait que par son sinus (x).

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>>> Cercles et triangles équilatéraux

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Pour en savoir plus

>>> Cercles inscrits

>>> Triangle isocèle

>>> Arcsin, arcos …

 

 

 

788.            Formule du triple quad

Sorte de théorème de Pythagore appliqué à des segments et non des triangles

 

Application

Trois carrés, dont deux qui s'appuient sur l'un des côtés du troisième.

 

Dans cet exemple:

*      un carré de côté 2 et aire 4, et

*      deux carrés de côté 1 et aire 1.

 

On compare les deux sommes des aires en notant a, b et c les longueurs des côtés:

*     

*     

Ces deux sommes sont égales  chaque fois que a + b = c

 

 

Exemples

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>>> Quadrature du triangle

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Formule du triple quad

>>> Théorème de Pythagore

 

 

789.            Trigonométrie rationnelle

Une forme particulière de la trigonométrie, de la science des mesures notamment dans le triangle. Elle a la particularité de ne pas utiliser de nombres irrationnels: ni nombre Pi, ni racines carrées. Toutes les grandeurs sont exprimées par des fractions. Son auteur, N.J. Wildberger affirme que cette trigonométrie est plus pratique et permet de résoudre plus simplement certains problèmes de géométrie.

 

Traditionnelle

Les côtés du triangle sont définis par leur longueur.

Les angles par leur valeur en radians ou en degrés; généralement des nombres avec décimales, ici tronquées à deux.

 

Rationnelle

Les côtés du triangle sont définis par le carré de leur longueur: la quadrance.

Les angles par une fraction qui équivaut au carré du sinus de l'angle: l'ouverture (spread en anglais)

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>>> Calcul avec les cosinus

>>> Brèves Trigonométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Trigonométrie rationnelle

>>> Trigonométrie classique

>>> Nombres irrationnels

 

 

790.            Dates à chiffres distincts 

 

On note les dates avec les huit chiffres comme le 1er janvier 2020 en 01 01 2020.

Quelles sont les dates pour lesquelles les huit chiffres sont différents ?

S'il en existe beaucoup, la période autour de l'année 2000 est vide comme le montre les deux dates indiquées.

 

Dernière date:    25 06 1987

Prochaine date: 17 06 2345

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Pour en savoir plus

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>>> Nombre 2013

 

 

791.            Courbes d'Edwards

 

Harold Edwards a étudié ce genre de courbes en 2007.

Ce sont des courbes elliptiques.

Application en cryptographie par Daniel J. Bernstein et Tanja Lange.

Dans ce cadre, elles seraient plus avantageuses que les courbes plus connues de Weierstrass.

 

Équations de ces courbes

 

 

Courbes bleues: k = 1000 (interne) et 300.

Courbes rouges: k = 10 puis 1.

Courbe noire: k = 0 (cercle)

Courbe verte: k = 0,9 puis 1 (carré)

Courbe violette: k =   2 (externe)

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>>> Approche de l'elliptique

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>>> Carré

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792.            Nombre d'or, Fibonacci et Lucas

 

Le nombre d'or (ϕ), lorsqu'il est élevé à la puissance k, cultive une relation à la fois avec la suite de Fibonacci et celle de Lucas

On a, par exemple, sur le ligne 2 du tableau:

Ou, avec la valeur du nombre d'or:

Ou, avec la valeur du nombre d'or:

La suite de telles sommes est la suite de Lucas: 1, 3, 4, 7 …

 

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793.            Diagonale du tableau

 

Une succession de tableaux carrés contenant les nombres successifs.

Le premier nombre en tête du tableau est donné par la formule en Tn.

La somme des valeurs sur la diagonale rouge est donnée par la formule en Dn.

La référence en "pour en savoir plus" explique la méthode de calcul.

 

 

 

 

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794.            Cycle de Collatz généralisé

 

Transformation d'un nombre

On connait la transformation 3x + 1 dite de Syracuse ou de Collatz. Simple mais encore pleine de mystères.

Celle-ci, dite généralisée, crée une image du nombre selon qu'il composé ou premier. Voir ci-dessous.

 

Exemples

3 est premier    => 3 x 2 + 1 = 7

4 est composé => 4 / 2 = 2

  

Trajectoire d'un nombre

Comme pour le cas classique, les images trouvées sont réinjectées dans le processus jusqu'à trouver un point d'arrêt ou un cycle qui boucle sur lui  même.

 

Exemples de trajectoire

17, 222, 111, 37, 1148, 574, 287, 41, 1518, 759, 253, 23, 438, 219, 73, 5184, 2592, 1296, 648, 324, 162, 81, 27, 9, 3, 7, 36, 18, 9

La trajectoire du nombre 17 se termine par un cycle en  9

 

On ne sait pas si la trajectoire du nombre 47 a une fin.

 

 

Procédé Collatz

 

 

Trajectoire des nombres de 2 à 9

 

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>>> Cycle de Collatz généralisé

>>> Cycle de Collatz

 

 

795.            Le singe et les noix de coco

 

Énigme

Énigme dont l'énoncé est simple mais pas facile à résoudre sans un bagage du niveau de la terminale ou supérieur.

 

Il existe une infinité de solutions dont la plus petite est 3 121 noix de coco.

 

Suivre le lien indiqué pour l'explication de la solution en images et en calculs.

 

 

Énoncé de l'énigme

Cinq hommes et un singe font une provision de noix de coco.

Durant la nuit le premier se lève et prend un cinquième des noix de coco; il en reste une qu'il donne au singe.

Le deuxième se lève un peu plus tard et fait la même chose: il prend un cinquième de qui reste et en donne une au singe.

Même chose jusqu'au cinquième.

La troupe se lève au petit matin comme si de rien n'était; chacun se sent coupable et ne dit rien. Ils décident de faire le partage à parts égales.

Chacun reçoit sa part et il ne reste pas de noix de coco.

Combien de noix de coco au départ?

 

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796.            Division qui retourne

 

Division magique

Imaginez un nombre qui commence par le chiffre k et qui, divisé par k, retourne le même nombre avec le chiffre k passant de tête en queue.

C'est le cas du nombre 410 256.

Le procédé de formation est simple (se reporter au lien ci-dessous).

Il existe un nombre unique pour tout k de 2 à 9. Celui avec k = 4 est le plus court avec 6 chiffres, avec k = 6 il est le plus long avec 58 chiffres.

  

 

Tête en queue avec 4

 

Cas k = 8, 13 chiffres

8101265822784 / 8 =

  1012658227848

  

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>>> Procédé de Kaprekar

 

 

 

797.            Nombres en 100…1

 

Trouver les diviseurs

Un truc pour trouver les diviseurs de ces nombres en 100…1.

 

Le nombre 1001 est divisible par 11.

Le nombre 100 000 1 est divisible par 1 0 1.

Le nombre 103(k+1) + 1 est divisible par 10k + 1 + 1.

Si le nombre compte 2 + 3k zéros, il est divisible par un nombre avec 1 + k zéros entouré de 1. Le quotient est un nombre en 99..00..1.

 

 

Un nombre en 100..1 avec 2 + 3k zéros

est de la forme 103(k+1)

  

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798.            Divisibilité par 37

 

Procédé expliqué sur un exemple.

*      Partager le nombre en blocs de trois chiffres.

*      Ajouter les nombres de deux chiffres de droite.

*      Ajouter les chiffres de gauche et multiplier par 11.

*      Si la différence est divisible par 37, le nombre l'est aussi.

 

 

 

Exemple de calcul de divisibilité par 37

La différence des deux sommes  est nulle, le nombre est divisible par 37:
4 567 872 = 37 x 123456

   

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>>> Divisibilité par 37 – Explications

>>> Nombre 37

 

 

 

799.            Isoler les chiffres avec tableur

 

Principe

L'Instruction STXT permet l'extraction d'un groupe de caractères dans une chaine ou un nombre.

L'instruction COLONNE renvoie le numéro de la colonne de la cellule indiquée ou de la colonne courante ().

Le numéro du chiffre à extraire progressera comme le numéro de la colonne où il sera placé.

 

Procédé

Utiliser l'instruction d'extraction STXT en précisant:

*      la position où se trouve le nombre à éclater; adresse absolue en colonne ($) et relative en ligne.

*      le rang du chiffre à extraire par lecture des numéros de colonne:

*      numéro de la colonne en cours (), moins

*      numéro de la colonne où se trouve le nombre ($B1)

*      la quantité de chiffres à extraire (1).

  

 

 

La formule est valable pour toutes les lignes.

Utiliser la poignée en bas à droite pour copier la formule dans la zone voulue.

 

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