NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Page 38 (740-759)

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Page 41 (800-819)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 40

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

780.            Aire du poisson

 

Énigme

Un carré (bleu) de côté a. Un grand quart de cercle

(A; R = a). Deux petits demi-cercles (M et N; R = a/2).

 

La figure en jaune, qui ressemble à un poisson, est partagée en deux parties A et B. Comparez les aires.

 

Solution

 

 

Alex Bellos cite cette énigme

sous le nom: L'aile et la lentille

Brèves associées

>>> Aires dans le  quart de cercle

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Aires des figures dans les cercles

>>> Aires – Index

 

 

781.            Points dans le carré

 

Problème

Un carré de côté 1.

Cinq points internes ou sur le périmètre.

 

Montrer qu'il existe au moins une paire de points éloignés au maximum de

 

Solution

Dessiner les médianes qui partagent le carré en quatre carrés identiques.

Avec quatre régions à remplir avec cinq points, selon le principe des tiroirs, il existe au moins deux points dans le même petit carré.

Or, la longueur de la diagonale du petit carré est .

 

Brèves associées

>>> Triangles dans le triangle

>>> Brèves Dénombrement – Index

Pour en savoir plus

>>> Principes des tiroirs – Exemples

>>> Dénombrement – Index

 

 

782.            Intégrale amusante avec sinus 

 

Propriétés

Les graphes des fonctions y =  sin(x) et y  = arcsin(x) sont symétriques.

Comment calculer l'aire bleue ?

 

Aire sous les courbes

Zone bleue  = rectangle sous pointillés verts – zone jaune

 

Primitive  de sinus = – cosinus

 

 

 

Graphe

Chacune des aires sous courbe (en bleu et en jaune)

vaut 0,570…

 

Brèves associées

>>> Intégrale ln(x) et exp(x)

>>> Brèves Analyse – Index

Pour en savoir plus

>>> Calcul intégral

>>> Primitives

 

 

 

783.            Somme symétrique des entiers

 

Exemples de sommes

La somme symétrique des entiers centrée sur n est le carré de n.

 

Mécanisme de formation du carré

Formule

1 + 2 +… + (n–1) + n + (n–1) +…+ 2 + 1 = n²

  

Brèves associées

>>> Somme des entiers

>>> Brèves Suites – Index

Pour en savoir plus

>>> Somme des entiers – Calculs

>>> Sommes des entiers – Introduction

 

 

784.            1 + 1/2 + 1/3 + … 1/n: entier ?

 

Problème

 

Montrer que:

 

n'est jamais un entier 

pour n un entier positif.

 

 

Solution

Mettre toutes les fractions au même dénominateur.

          Exemple 

 

Tous les termes au numérateur sont pairs sauf le dernier. La somme est impaire.

Le dénominateur est pair.

L'un ne peut pas diviser l'autre.

L'expression n'est jamais un nombre entier.

 

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>>> Brèves Opérations – Index

Pour en savoir plus

>>> Cas de 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n 

>>> Types de nombres – Index

 

 

785.            A

 

 

Brèves associées

Pour en savoir plus

 

 

 

 

 

 

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