NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Atlas des maths

 

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BRÈVES de MATHS – Page 41

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

800.            Somme des nombres à k chiffres

 

Somme avec un ou deux chiffres

S(1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

S(2) = 100 + 101 + … + 999 =  4 905

La somme des nombres à deux chiffres est égale à 4 905.

C'est la somme de tous les nombres jusqu'à 999, diminuée de la somme de ceux jusqu'à 99.

 

Formules de calcul

 

Allure des nombres pour k > 2

S(k) = 494 99…9k-3 55 00…0k-2

 

Table des sommes des nombres
à k chiffres (k, S)

 

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801.            Construire 1 connaissant 2

 

Problème

On dispose d'une règle avec deux marques espacées d'une distance disons de 2 unités.

Construire un segment de longueur unité avec cette seule règle.

 

Solution

Tracer deux droites sécantes (bleues).

Porter deux fois de suite la longueur 2 sur chacune (ici symbolisée par des cercles).

Tracer les deux segments (verts) joignant les marques.

Porter la longueur 2 sur le plus grand segment et joindre cette marque au sommet du triangle (rose).

L'intersection sur le petit segment définit un segment de longueur unité.

 

 

Figure

 

Explication

Les triangles verts sont dans une homothétie de rapport 1/2.

Les segments verts sont dans le même rapport.

  

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802.            Transformation Powertrain

 

Procédé

Création d'un nouveau nombre à partir des chiffres d'un nombre: c'est le produit de chaque chiffre de rang impair élevé à la puissance du chiffre de rang pair.

 

Exemple

  

 

 

Trajectoire

Le procédé est répété sur les images obtenues et il est arrêté sur un point fixe ou la création d'une boucle.

 

Exemple de trajectoire avec le nombre 55

55, 3125, 96, 531441, 500, 0

 

Le nombre 2 592  est le seul dont l'image est lui-même.

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803.            Super-Harshad

Un nombre de Harshad est divisible par la somme de ses chiffres.

 

Un nombre super-Harshad reste Harshad avec ses puissances successives.

Le nombre 6 est Harshad jusqu'à la puissance 10.

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804.            Premiers avec équi-éloignés

 

On cherche les nombres comme 4 qui sont le rang k d'un nombre premier tel qu'à la distance k de part et d'autres du nombre premier Pk on retrouve deux nombres premiers.

Pk – k = Premier

Pk + k = Premier

 

 

Exemple avec k = 4

 

Exemple avec k = 2022

 

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805.            Pannumériques divisibles par 11

 

Exemple

123495768 est divisible par 11. En fait:

*      la somme des cinq chiffres de rang impair (1, 3, 9, 7 et 8) est 28, et

*      celle des quatre chiffres de rang pair (2, 4, 5, 6) est 17.

*      La différence 28 – 17 = 11 indique que ce nombre est divisible par 11.

Quantité

Le tableau montre les 11 possibilités de somme 17 et 28. Pour chaque ensemble des quatre nombres, il y a 4! = 24 permutations et pour ceux à cinq nombres il y en a 5! = 120.

Bilan: 11 x 24 x 120 = 31 680 pannumériques divisibles par 11.

 

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806.            Comparez 99! et 5099

 

Face à ces grands nombres, la comparaison ne semble pas facile sans avoir recours à une calculette.

Pourtant, un peut d'astuce permet de montrer que 5099 est bien plus grand que 99!

La démonstration passe par cette écriture développée en constatant que le 50 est au milieu en haut comme en bas, ce qui offre une symétrie à exploiter:

 

    

Valeurs numériques  et rapport entre elles

 

Une propriété bien utile

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807.            Carrés et factorielles

 

Différence de factorielles successives

La différence entre deux factorielles successives est égale:

*      au produit de la plus petite par ce nombre sans factorielle, et

*      au carré de la plus petite multiplié par la factorielle du nombre inférieur.

 

3! – 2! = 2 × 2! = 2² × 1!

4! – 3! = 3 × 3! = 3² × 2!

11! – 10! = 10 × 10! = 10² × 9!

12! – 11! = 11 × 11! = 11² × 10! 

 

Carré et trois factorielles successives

 

 

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808.            Racine numérique des carrés

 

Théorème

La racine numérique des carrés

est toujours 1, 4, 7 ou 9.

   

Si la racine numérique n'est pas l'un de ces chiffres, le nombre n'est pas un carré.

Exemples

4² = 16 et RN = 1 + 6 = 7

5² = 25 et RN = 2 + 5 = 7

6² = 36 et RN = 3 + 6 = 9

Programme Maple

 

Commentaire

RN est une procédure, une fonction qui retourne la racine numérique de n.

Le nombre n est converti en sa suite de chiffres, lesquels sont additionnés en s.

Si cette somme s est à deux chiffres, elle est réinjectée dans la procédure RN (principe du calcul récursif).

La valeur finale de s est retournée vers le programme d'appel.

Le programme principal compose un ensemble – présence des accolades { } – des diverses valeurs prises par la racine numérique des carrés.

Le point virgule final implique une impression.

 

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809.            Nombre 24 en trois chiffres

Un jeu classique consiste à atteindre un nombre donné en utilisant les opérations ordinaires et des chiffres imposés.

 

Cet exemple montre comment atteindre le nombre 24 avec trois fois le même chiffre.

On profite du fait que: 24 = 4x3x2x1 = 4!

On utilise l'astuce: .1 surligné = 0,111…
Alors 0,111… = 1 / 9 avec 9 le carré de 3.

 

Un exemple célèbre demande d'atteindre tous les nombres successivement en utilisant quatre fois le chiffre 4. 

 

  

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810.            Points de Lagrange

 

Forces de gravitation

La loi de la gravitation indique que deux objets ayant une masse s'attirent mutuellement. Nous-mêmes sommes attirés vers le centre de la Terre.

Prenons un objet (un satellite artificiel) placé entre le Soleil et la Terre. L'attraction de l'un et l'attraction de l'autre se combinent. Il existe un point sur l'axe Soleil-Terre où ces forces sont égales. C'est le premier point de Lagrange (L1).

 

Les cinq points de Lagrange

Une étude approfondie des lois de l'attraction, menée en premier par Joseph Lagrange (1736-1813), a conduit à identifier cinq points d'équilibre: trois sont situés sur l'axe entre les deux objets et deux à un angle de 60° de l'axe et sur l'orbite de la Terre.

Ces cinq point existent pour tout astre qui orbite autour d'un autre.

 

Mouvement

Notez que l'ensemble Terre et points de Lagrange orbitent autour du Soleil.

Le centre de gravité Soleil-Terre étant légèrement à l'écart du centre du Soleil, lui aussi sera animé d'un mouvement de rotation.

 

 

Télescope James Webb

En fin 2021, le successeur de Hubble sera placé au point de Lagrange L2 situé à 1,5 million de km de la Terre.

En position d'équilibre instable, un minimum d'énergie suffira à le recaler: réservoir d'ergol pour une autonomie de 10 ans.

 

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811.            Oméga 3 et oméga 6

 

Oméga 3 désigne des acides gras qui possèdent une double liaison au niveau du troisième atome de carbone en partant de la fin de la chaine. Idem avec oméga 6, pour le sixième carbone.

Les acides gras sont des molécules à longue chaines d'atomes de carbone avec une liaison simple (acides gras saturés) ou double (acides gras saturés en hydrogène).

Parmi les instaurés, il des molécules à liaison double droites (dits "trans") ou à liaison coudées (dits("cis").

Les "trans" sont d'origine animale et sont plutôt à bannir (objectif OMS pour 2023).

Les "cis" sont essentiels à la santé, comme les oméga 3 et les oméga 6 que l'on trouve dans les huiles végétales et les poissons gras.

 

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812.            Repunits et premiers

 

Théorème

Tout nombre premier supérieur à 5 divise un repunit formé de p – 1 fois le chiffre"1".

 

Le nombre premier 7 divise le repunit 111 111, de longueur 6.

Le quotient 15 873 multiplié par 9 donne la période de la fraction 1/7

      

 

 

Exemples

 

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813.            Multiplication magique

 

Le tour

Sorte de tour de magie ou de calcul mental éclair.

Une personne inscrit un nombre de trois chiffres sur le tableau.  Je le répète.

 Elle en choisit un second. Je forme son complément à 9, sans le dire, bien sûr !

Je prétends calculer instantanément  la somme des produits de ces nombres.

 

Le calcul

Je retire 1 au premier nombre  (566) et j'en prends le complément à 9 (433). C'est fini !

 

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814.            Division mystérieuse

Le mystère

Un internaute me sollicite pour comprendre le mystère de 1/168 qui "attire" les décimales répétitives de 1/7 = 0, 142857 … ou ses permutations circulaires.

 

Explication du mystère

Il se trouve que toutes les fractions en 1/7, y compris les fractions en 1 sur multiple de 7, produisent un développement décimal avec ces chiffres répétitifs.

Or, en l'occurrence, le nombre proposé est un multiple de 7. En effet: 168 = 23 x 3 x 7.

Pas étonnant d'y retrouver les chiffres répétitifs de 1/7.

 

Dans le tableau du bas, des "0" ont été ajoutés pour obtenir une constante entière.

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815.            Problème de Steiner: x1/x

 

Problème de Steiner

Ce problème a été formulé et résolu par Jakob Steiner en 1850: quelle est la valeur qui maximalise la valeur de la racine énième de x ?

 

Démonstration

Sur le graphe présenté:
   Le"vert" est en dessous de "rouge":

 

En élevant à la puissance 1/x:

 

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816.            Rang des Fibonacci

 

Sur ce tableau quatre nombres (0, 1, 5 et 10) sont des nombres de Fibonacci dont la racine numérique (Rn) est égale au rang du nombre de Fibonacci (R).

 

Le plus petit non trivial

F10 = 55  et Rn(F10) = 5 + 5 = 10

 

On pense qu'il n'existe que 20 tels nombres avec les rangs

0, 1, 5, 10, 31, 35, 62, 72, 175, 180, 216, 251, 252, 360, 494, 504, 540, 946, 1188, 2222.

 

Le plus grand connu

F2222 = 10496 …9561 Il compte 465 chiffres.

  

R

FR

Rn

0

0

0

1

1

1

2

1

1

3

 2

 2

4

 3

 3

5

 5

 5

6

 8

 8

7

 13

 4

8

 21

 3

9

 34

 7

10

 55

 10

11

 89

 17

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817.            Marguerite magique

des nombres premiers

 

Propriété

Les multiples de 6 sont inscrits sur la barre centrale jaune.

Tous les nombres premiers, à partir de 5, sont situés sur la barre du haut ou du bas (rouge)

Dit autrement: un nombre premier, outre 2, 3 et 5, est toujours de la forme 6k – 1 ou 6k + 1.

En gris, les exceptions.

 

 

Un truc pour retrouver les nombres premiers jusqu'à 100

 

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818.            Marguerite magique

des nombres premiers

 

Propriété

Les nombres successifs sont inscrits sur cette roue à 30 rayons ou marguerite à 30 pétales.

Sur cette marguerite, seuls huit pétales sont susceptibles de contenir des nombres premiers (à partir de 7).

Ils sont tous voisins de pétales contenant des multiples de 6.

 

Intérêt

Cette propriété est exploitée pour réaliser le crible de la roue (wheel sieve). Seuls les nombres dans ces pétales sont à examiner pour identifier les nombres premiers.

 

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819.            Les crayons emmêlés

 

Énigme

Le journal Ouest-France propose cette énigme: combien de crayons sur cette image: 9, 10, 11 ou 12 ?

Le journal commente: mais croyez-nous lorsque nous vous disons que 75% des gens n’ont pas donné la bonne réponse lors de leur première tentative.

 

Indice

Ne comptez pas les crayons, vos yeux vont se brouiller.

Mais, comptez les mines.

 

Réponse >>>

  

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Il y a 6 + 5 = 11 crayons  

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