NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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BRÈVES de MATHS – Page 42

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

Page spéciale dédiée au NOMBRE 200

et à quelques notions de la THÉORIE des NOMBRES

 

 

820.            Nombre 200 – Langues 

 

En français

200

Deux-cents, deux-cent-un, trois-cents, trois-cent-un.

Traits d'union partout; pas de pluriel à cent si suivi d'un nombre.

 

200e

Deux-centième, deux-cent-unième.

Deux-cents fois: ducenties du lation duo centum

 

Bicentenaire.

 

Il était aux deux-cents coups – He's frantic
Il était affofé, paniqué, survolté.

 

Autres langues

 

Two hundred Anglais

Zweihundert Allemand

 

Doscientos Espagnol

Duemila Italien

Dois Mil Portugais

 

 

Brèves associées

>>> Nombres dans les mots français

>>> Brèves Langue – Index

Pour en savoir plus

>>> Nombre 200 dans le DicoNombre

>>> Nouvelle orthographe des nombres

 

 

821.            Nombres pairs et cousins

 

Pair et impair

Le nombre 200 est divisible par 2, c'est un nombre pair. Les nombres non-divisibles par 2 sont impairs: ils produisent un reste égal à 1.

Pairs et impairs, on leur donne une forme générique:

*      Nombre pair = 2k;
           avec 200, k = 100.

*      Nombre impair = 2k + 1;
           avec 201, k = 100.

Pratique pour faire certains calculs.

 

Exemple

*      PAIR fois PAIR = PAIR,
car: 2k
× 2h = 4kh qui est divisible par 2 donc pair.

*      IMPAIR fois IMPAIR = IMPAIR,
car: (2k+1
× (2h+1) = 4kh + 2k + 2h + 1 = 2(2kh+k+h) + 1 qui n'est pas divisible par 2.

 

Généralisation

En théorie des nombres, il est parfois utile de restreindre le terrain de jeu: ne pas utiliser tous les nombres jusqu'à l'infini, mais les "enrouler" dans un domaine plus limité.

Vous utilisez déjà ce principe en lisant l'heure qui tourne sur 12 heures seulement. Dans ce monde 15h vaut 3h. Oui, on soustrait 12 autant de fois que l'on peut.

Les mathématiciens utilisent ce procédé avec le 2, le 12 et tous les autres nombres et appellent cela le calcul modulo.

 

Exemple


Ce qui se lit: 200 est divisible par 2; divisé par 12, le reste est 8 et divisé par 6, le reste est 2.

 

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>>> Exemple de calcul modulo

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>>> Nombres pairs et impairs

>>> Calcul modulo

 

 

822.            Nombres composés et premiers

 

Nombres composés

Le nombre 200 est divisible de manière évidente par 2 et par 5.

*      un nombre est divisible par 2 s'il est terminé par {0, 2, 4, 6 ou 8};

*      un nombre est divisible par 5 s'il est terminé par {0 ou 5}

Tous les nombres divisibles par un autre sont des nombres composés.

 

Image

Un nombre composé correspond à l'aire d'un rectangle ayant des longueurs entières.

Pour représenter le nombre 200, on pense, par exemple, à un rectangle de longueur 20 et de largeur 10, et son aire est bien 200.

 

Nombres premiers

Il existe des nombres sans possibilité de divisibilité. Par exemple, il est impossible de partager le nombre 199  en k parts égales.

Ce sont des nombres premiers.

La liste commence comme ceci:
2, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 …

 

Les nombres premiers sont répartis sans ordre connu. Ce qui veut dire qu'il n'existe pas de formule pour les définir.

 

Cependant, ils sont tous voisins d'un multiple de 6 comme le montre cette barre magique.

 

Barre magique des nombres premiers inférieurs à 100 (hors 2 et 3)

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Premier/Barmag6_fichiers/image016.jpg

Au milieu, en jaune, les multiples de 6;

Au-dessus et en dessous, en rouge, les nombres premiers, tous voisins des multiples de 6.

En bordure, en gris, les exceptions. 

 

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>>> Nombres composés

>>> Divisibilité par …

 

 

823.            Composé stable (jamais premier)

 

Composé stable

Ici, on cherche à déstabiliser le nombre en modifiant l'un de ses chiffres.

Le tableau de droite montre tous les nombres formés à partir de 200 en changeant le premier chiffre, ou le deuxième ou le troisième.

Tant que le nombre modifié est terminé par un 0, il est composé. En modifiant le chiffre des unités, on trouve:

*      des nombres divisibles par 2 ou par 5

*      des nombres divisibles par 3 et,

*      un nombre divisible par 7.

En fait, ils sont tous composés. Le nombre 100 est un nombre composé stable.

 

Le nombre 200
est le plus petit nombre composé stable.

 

Les suivants sont: 204, 206, 208, 320, …

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824.            Facteurs et diviseurs

 

Facteurs

 

Tout nombre peut être décomposé en un produit de nombres premiers de façon unique, aux permutations près.

 

Chacun de ces nombres premiers est un facteur ou un diviseur premier.

 

Pour trouver les facteurs, le nombre est divisé par 2, puis par 3, puis par 5, etc. et cela, autant de fois qu'il est possible comme le montre le dessin.

  

Diviseurs

Ce sont tous les nombres qui divisent exactement le nombre 200. Ils sont douze en comptant 200:
{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200}

 

Ceux-ci sont symétriques. Voyez ces produits:
1 × 200, 2 × 100, 4 × 50, 5 × 25 et 10 × 20

 

La quantité de diviseurs d'un nombre est calculée simplement en faisant le produit des exposants plus 1:
 (3 + 1) (2 + 1) = 12.

 

La somme utilise également les exposants:

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>>> Facteurs et diviseurs

>>> Somme des diviseurs

 

 

825.            Nombre puissant

 

Nombres puissants

Dans l'expression de la factorisation du nombre, ce sont les exposants {3 et 2}  que nous observons.

 

Ils tous les deux supérieurs à 1, on dit que ce type de nombre est un nombre puissant.

 

Ils ne sont pas égaux: 200 n'est pas une puissance pure comme l'est, par exemple: 100 = 2² × 5².
C'est un nombre d'Achille (puissant mais pas totalement comme le fameux héro).

 

Plus petit nombre d'Achille: 72 = 23 × 32.

 

Le nombre 200 est un nombre d'Achille

Exposants différents et supérieurs à 1.

 

Nombres d'Achille jusqu'à 1000

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, …

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>>> Puissance et exposants

 

 

 

826.            Nombre abondant et voisins

 

Abondant

On cherche ici, les propriétés des nombres en fonction de la somme de leurs diviseurs (sigma).
.

Ce nombre dépasse le double de 200. On dit que le nombre 200 est abondant et que son taux d'abondance est 465 / 200 = 93 / 40 =  2,325…

 

Parfait

Il existe des nombres particuliers dont le taux d'abondance est exactement 2, ce sont des nombres parfaits, comme le nombre 6:
Div(12) = {1, 2, 3, 6, 12): Somme = 24 = 2
× 12.

Déficient

Pour certains nombres, le taux d'abondance est inférieur à 2 (ou à 1, si on retirait le nombre de la somme des diviseurs).

C'est le cas de tous les nombres premiers dont la somme des diviseurs vaut P + 1:
199 = 1 x 199;
Somme des diviseurs: 1 + 199 = 200.

On dit que ces nombres sont déficients.

 

Le nombre suivant: 201 = 1 x 3 x 67 a pour somme des diviseurs: 1 + 3 + 67 + 201 = 272
Taux d'abondance: 272 / 201 = 1,35… Ce nombre est déficient.

Autour du nombre 200

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827.            Nombres amis

 

Amis et solitaires

On connait le taux d'abondance du nombre 200 (somme des diviseurs divisée par le nombre): 93 / 40.

On cherche d'autres nombres qui posséderaient ce même taux.

Le nombre 80 répond à ce critère.

Les nombres 80 et 200 forment une paire d'amis.

 

Il existe des chaines d'amis: 30, 140, 2 480, 6 200, 40 640, …

 

Les nombres sans amis sont les nombres solitaires.

 

Les nombres 80 et 200 sont amis

 

 

 

Sigma est la somme des diviseurs.

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828.            Nombre semi-parfait

 

Semi-parfait

Nous venons de voir qu'un nombre parfait est tel que la somme de ses diviseurs et le double du nombre.

Un nombre semi-parfait suit cette logique, mais avec la somme d'un jeu des diviseurs.

 

Le nombre 200 est douze fois égal à la somme partielle des diviseurs comme le montre le tableau.
Autour de 200, 198 et 204 sont semi-parfaits.

 

On peut aussi s'intéresser à la somme des inverses des diviseurs: notion de semi-parfaits primaires.

 

 

Somme 200
avec sélection de diviseurs

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829.            Nombre pratique

 

Nombre pratique

Encore une utilisation des diviseurs de 200.

 

Tous les nombres jusqu'à 200 peuvent s'exprimer comme une somme d'un jeu de diviseurs de 200, comme le montre le tableau pour les nombres de 190 à 200.

 

Le nombre 200 est un nombre pratique.

Seuls les nombres pairs sont pratiques.

Parmi les premiers pairs, les suivants ne sont pas pratiques: 10, 14, 22, 26, 34, 38, 44, 46, 50, …

  

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>>> Tableau complet pour 200

 

 

830.            Opérations avec les chiffres

 

Souvent un amusement, ici, on cherche des configurations particulières avec les chiffres.

 

Le nombre 200 est banal de ce point de vue.

 

Exemple de configurations

513 + 315 = 828

Ce nombre devient palindrome en lui ajoutant son retourné.

 

513 + (5 × 1 × 3) = 528 = 1 + 2 + 3 + … + 32

Ce nombre devient triangulaire en lui ajoutant le produit de ses chiffres.

 

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831.            Somme des chiffres

 

Nombres et chiffres

On rappelle la différence entre chiffres et nombres:

*      les chiffres servent à former les nombres.
Ce sont: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; et

*      les nombres servent à compter: 199, 200, 201, …

 

Nombres de Harshad

Le nombre 200 est un nombre de Harshad bien banal (en maths, on dit trivial). Il est divisible par la somme de ses chiffres: 200 / (2+0+0) = 100.

 

Il existe des nombres de Harshad amusants: la somme se retrouve dans le nombre:
910 / 10 = 91; 912 / 12 = 76; 915 / 15 = 61

 

Nombres de Harshad jusqu'à 200

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200 …

 

Le nombre 200 est aussi divisible par 4,  soit deux fois la somme de ses chiffres: c'est un nombre de Niven.

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832.            Nombre fourchette

 

Encore une propriété dépendante des chiffres du nombre.

On forme le nombre à 2k chiffres dont:

*      les k plus grands sont les k plus à gauche du nombre et

*      les k plus petits sont les k plus à droite du nombre.

 

Avec 200 et k = 1, on forme 20.

Le nombre est fourchette (ou gapful en anglais) si ce nouveau nombre divise le nombre d'origine.

Le nombre 200 est un nombre fourchette.

 

 

Un exemple de nombre fourchette

avec k = 2

 

Ce nombre est divisible par le nombre sans ses chiffres centraux.

 

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833.            Partitions

 

Partitions = toutes les additions pour atteindre le nombre.

La recherche des facteurs et des diviseurs d'un nombre font partie de la théorie multiplicative des nombres. Il existe aussi une théorie additive qui examine la possibilité de réaliser des additions pour atteindre le nombre.

Par exemple pour 200 = 1 + 199 = 1 + 1 + 198 = 5 + 195 …

Arrêtons l'énumération car il existe presque quatre mille milliards (3 972 999 029 388) telles additions que l'on nomme partitions du nombre.

Avec ces quantités, on comprend que l'étude des partitions soit plus complexe que celle des produits de facteurs.

 

Plus raisonnable, le nombre 5 possède sept partitions. Elles sont présentées de manière originale par le  diagramme de Ferrers.

 

 

Diagramme de Ferrers

Les sept partitions du nombre 5.

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>>> Diagramme de Ferrere

 

 

834.            Sommes particulières

 

Théorème de Waring

Le théorème de Waring assure la partition en carrés, cubes et autres puissances en une somme comprenant maximum fini de termes.

       Théorème

 

Parmi les nombreuses autres partitions d'un nombre, on retient celles qui sont notables, comme celles présentées ci-dessous.

 

Cas du nombre 200

 

 

Avec 200, il suffit de deux carrés alors que le maximum est 4; avec la puissance 5, il en faut 14 pour un maximum de 37.

 

Somme de nombres consécutifs

200 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12
  + 13 + 14 +   15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20
Calcul rapide: (5+20) + (6+19) +…+ (12+13)
                            = 8 x 25 = 200

 

Somme de nombres triangulaires
200 = T5 + T6 + T7 + T8 + T9 + T10
        = 15 + 21 + 28 + 36 + 45 + 55
Un nombre triangulaire est lui-même un somme d'entiers. Par exemple:
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (5 x 6) / 2
21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (6 x 7) / 2

 

Somme de nombres premiers

200 = 3 + 197 = 7 + 193 = 19 + 181 = …

 

Somme de puissances

200 =   2² + 14²

        =   2² +   4² + 6² + 12²

        = 102 + 102

        =   6² +   62  + 8² + 8²   

200 = 23 + 43 + 43 + 43

200 = 15² – 5² = 27² – 23² = 51² – 49²

200 = 63 – 42  = 93 – 232
   = 663 – 5362
= 287 496 – 287 296

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835.            Nombre glissant

 

Nombre glissant

Nombre  n tel qu'il existe deux nombres entiers x et y tels que:

 

  Nombres glissants jusqu'à 200
2, 7, 11, 20, 25, 29, 52, 65, 70, 101, 110, 133, 200.

 

Le nombre 200 est un nombre glissant

 

Autre exemple avec 133

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836.            Suite de Padovan

 

Suite de Padovan

Suite de nombres, cousine de celle de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …) – Chaque terme est la somme des deux précédents.

Avec la suite de Padovan, les trois premiers termes sont 1 et chaque nouveau terme (n + 1) est calculé à partir de l'avant-dernier (n – 1) additionné au précédent (n – 2):
PN + 1 = PN – 1  + PN – 2   

 

 

 

Suite de Padovan jusqu'à 200
1,  1,  1,  2,  2,  3,  4,  5,  7,  9,  12,  16,  21,  28,  37,  49,  65,  86,  114,  151,  200.

 

Nombre plastique

Le rapport entre deux nombres successifs de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d'or, la solution positive de x² = x  + 1.

Celui de la suite de Padovan tend aussi vers une constante. Elle est solution de l'équation: x3 = x + 1 dont la racine réelle est le nombre plastique: 1,32471…

 

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837.            Jeu des quatre 4

 

Le célèbre jeu des quatre 4 (four fours puzzle)

Les amateurs d'amusements arithmétiques se sont donné le défi de trouver des opérations qui combinent quatre nombres 4 avec pour résultat les nombres successifs, de plus en plus grands.

Ainsi, pour notre nombre:
200 = 44 × 4 + 4! = 176 + 24

 

Facile ?

Voyez le tableau des solutions pour les onze premiers nombres. Oui, les solutions nécessitent un peu d'astuce.

Pour le nombre 11, il faut même aller chercher la racine carrée.

Les amateurs rivalisent d'inventions, utilisant des opérateurs moins connus pour atteindre les plus grands nombres.

  

 

Solutions pour les nombres de 0 à 11

 

Solution faisant intervenir une factorielle

19 = 4! – 4 – 4 / 4 = 24 – 4 – 1

 

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838.            Jeu pannumérique

 

Un autre jeu non moins célèbre
(The nine digits puzzle)

Ici, on demande d'utiliser les nombres de 1 à 9 dans l'ordre et d'ajouter des opérateurs classiques pour atteindre un nombre donné

On demande souvent quelle est la solution pour 100. Celle-ci, par exemple, utilise un maximum d'additions:
100 = 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 78 + 9

 

Solutions pour le nombre 200 – Exemples

200   = 1 × 2 – 3  + 45 + 67 + 89
= 1 + 2 – 3
× 4 + 5 x 6 × 7 + 8 – 9
= 1 + 234 + 5
× 6 + 7 – 8 × 9
= 1 + 23 + 4
× 5 + 67 + 89

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839.            Bases de numération

 

Système décimal – Base 10

Nous comptons en utilisant un système de numération de position à base 10.

Ce qui veut dire qu'implicitement:
200 = 2 × 100 + 0 × 10 + 0 × 1

Un nombre comme 213 se développe en:
213 = 2 × 100 + 1 × 10 + 3 × 1

 

Nous utilisons dix chiffres qui ont un poids en multiples de 10 selon leur position.

En partant de la droite, les chiffres successifs sont à multiplier par:
{1, 10, 100, 1000, 10 000, …}.

 

 

Système de numération en base 2 ou binaire

 

Tout en conservant le système de position, on peut se limiter à deux chiffres: {0 et 1}.

Alors 200 s'écrit: 1100 1000 dont le développement est le suivant:
1 × 128 + 1 × 64 + 30 × 32 + 10 × 16 + 1 × 8
                          + 0 × 4 + 0 × 2 + 0 × 1
= 128 + 64 + 8

 

Autres bases de numération (par exemple)

200 = 404 en base   7 = 4 ×  49 + 0 x 7 + 4

200 =   88 en base 24 = 8 x 24 + 8 × 1

 

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