NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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BRÈVES de MATHS – Page 43

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

840.            Triangles équilatéraux singuliers

Toutes les mesures indiquées sont des nombres entiers

 

Cas d'un point interne

Ce triangle équilatéral de côté 112 est le plus petit triangle équilatéral tel qu'il existe un point D interne dont les distances aux trois sommets sont des nombres entiers.

 

Cas d'un point quelconque

Ce triangle équilatéral de côté 7 est le plus petit triangle équilatéral tel qu'il existe un point dont les distances aux trois sommets sont des nombres entiers.

 

Cas d'un point sur une côté

Ce triangle équilatéral de côté 8 est le plus petit triangle équilatéral tel qu'il existe un point sur un côté dont les distances aux trois sommets sont des nombres entiers.

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>>> Nombre 112

 

 

841.            Quatre nombres consécutifs

 

Observation

Le produit des quatre premiers nombres vaut:
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 = 5² – 1

Autrement-dit: un carré mois un.  Idée ?

 

Propriété

Le produit de quatre nombres consécutifs est égal à un carré diminué de 1.

  

n (n + 1) (n + 2) (n + 3)

= (n² + 3n + 1)² – 1

 

Produits pour n de 1 à 10

1x2x3x4

=   5² – 1 

=     24

2x3x4x5

= 11² – 1 

=   120

3x4x5x6

= 19² – 1 

=   360

4x5x6x7

= 29² – 1 

=   840

5x6x7x8

= 41² – 1 

= 1 680

6 …

55

  3 024

7

71

  5 040

8

89

  7 920

9

109

11 880

10

131

17 160

  

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842.            Semi-uniforme divisible par 3 et 7

 

Ce nombre proposé par E. Dudeney est semi-uniforme: composé de deux chiffres seulement.

C'est le plus petit avec 3 et 7 qui est divisible par chacun de ses chiffres et dont la somme des chiffres l'est aussi.

 

 

Un tel nombre contient trois "7" et sept "3", condition nécessaire pour que la somme des chiffres soit divisible par 3 et par 7.

 

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843.            Chiffres en trous

 

Quelle est la logique de ce tableau ?

Le nombre du bas comptabilise la quantité de trous dans le nombre du haut.

 

La suite de ces nombres RECORD à partir de 0

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844.            Énigme des voitures

 

Énigme

Quatorze voitures sont rangées l’une derrière l’autre sur un parking. Toutes avec un numéro d’immatriculation différent, inférieur à 1500. Chose étonnante, le numéro de chacune est égal à la somme des cubes des chiffres du numéro de la voiture placée devant elle.  Quel est le numéro de la première voiture ? 

 

Réponse par lecture de la liste ci-contre: 177.

 

 

Cycle du cube des chiffres

Chaque nombre du cycle est égal à la somme des cubes du précédent.

2 => 23 = 8 => 83 = 512 => 53 + 13 + 23 = 134 => …

 

Cycle de longueur 14 avec nombres différents:

177, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153.

Arrêt à 153, car 13 + 53 + 33 = 153

Il existe un seul cycle plus grand qui part de 12 558, un nombre plus grand que le 1500 de l'énigme.

 

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845.            Triangles de Conway

 

Triangle rectangle ABC partagé en 5 triangles isométriques

Les côtés des cinq triangles sont dans un rapport d'homothétie = 1 / racine de 5.

En itérant le partage pour chaque petit triangle, on crée un pavage du plan (Figure de droite)

        

Calcul des dimensions

Triangle rectangle de côté 1 et 2

Hauteur AD issue de A

Longueur de BD

Milieu C de AD

Milieu E de AC

Perpendiculaire EF à BC

Diagonale DE

  

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846.            Lettres devenues chiffres

En haut

Nombres écrits avec une fonte à sept barres, comme sur les afficheurs lumineux (calculette, par exemple).

Particularité de pouvoir les lire comme des mots de la langue française.

 

 

En bas

Amusement qui consiste à représenter une lettre par un chiffre ou un symbole qui lui ressemble

 

   

 

 

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847.            Numération en octal

 

Octal

Compter en octal consiste à compter avec huit chiffres (0, 1, … 7). Le 8 en décimal devient 10 en octal.

 

Conversion en octal

Elle est très pratique pour nommer du binaire: il suffit de grouper les chiffres binaires (0 ou 1) par blocs de trois. Ainsi 010binaire devient 2 octal.

Le tableau montre comment nommer ce nombre binaire simplement par 421. La conversion de l'un en l'autre étant immédiate.

La conversion hexadécimale offre la même simplicité.

 

27310 = 4218 = 100 101 0012

 

 

 

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>>> Octal

>>> Hexadécimal

 

 

848.            Numération en octal

 

Octal

Compter en octal consiste à compter avec huit chiffres (0, 1, … 7). Le 8 en décimal devient 10 en octal.

 

Conversion en octal

Elle est très pratique pour nommer du binaire: il suffit de grouper les chiffres binaires (0 ou 1) par blocs de trois. Ainsi 010binaire devient 2 octal.

Le tableau montre comment nommer ce nombre binaire simplement par 421. La conversion de l'un en l'autre étant immédiate.

La conversion hexadécimale offre la même simplicité.

 

27310 = 4218 = 100 101 0012

 

 

 

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849.            Suites et méthode des différences

 

Exemple avec la suite des cubes en y

Tableau des différences d'ordres successifs:

n

1

2

3

4

5

y

1

8

27

64

125

d1

7

19

37

61

d2

12

18

24

d3

 

6

6

 

Pour les cubes,  la troisième différence est constante; c'est normal ! Pour la puissance 10, ces serait la dixième différence.

On retient les nombres de tête de ce tableau (en jaune) pour effectuer nos calculs.

 

Question

Donner le douzième nombre de la série.

 

Calcul

La valeur est égale à la somme des nombres de tête du tableau (en jaune), chacun étant pondéré par une sorte de coefficient du binôme (en rouge).

 


 

Le nombre 1728 qui est bien le cube de 12.

Pour la vingtième valeur, il suffit de remplacer le 11 par 19 et suivre la logique pour les autres nombres en rouge: 1 + 19×7 + 171×12 + 969×6 = 8 000 = 203.

 

La méthode est très utile pour des cas moins communs que les cubes. Explications en suivant le lien indiqué.

 

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850.            Ellipsographe

 

Construction de l'ellipse

Droite verticale et horizontale.

Choisir k points équidistants sur l'axe vertical à partir du centre (ici k = 8).

 

Choisir une première longueur qui sera maintenue constante pour construire les rayons joignant l'axe vertical à l'axe horizontal. Les points sur l'axe horizontal sont irréguliers, c'est normal.

 

Choisir une seconde longueur qui sera maintenue constante pour construire les points de l'ellipse sur chacun des rayons construits précédemment.

 

Méthode laborieuse à la main, mais facilement réalisable avec un outil appelé ellipsographe (ou trammel). Utile pour les menuisiers et autres artisans.

 

 

Méthode de l'ellipsographe

Il existe d'autres méthodes plus simples, mais toujours point par point.

 

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851.            Fractions et nombres entiers

 

Voyez ces fractions extraordinaires !

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/aaaNbExt/Carroll_fichiers/image020.gif

 

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/aaaNbExt/Carroll_fichiers/image023.gif

 

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/aaaNbExt/Carroll_fichiers/image025.gif

 

Ces fractions en 1/ (99…9k)2 engendrent tous les nombres successifs jusqu'à 99…9k en omettant le nombre juste précédent: 99…98.

 

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852.            Infinité de premiers

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853.            Problème de 18 points

 

Le problème

Au final, on doit trouver cinq villas, une dans chacun des cinquièmes de longueur; une dans chaque quart, une dans chaque tiers et une dans chaque demi.

La rue est représentée plusieurs fois pour montrer l'appartenance à chaque fraction de longueur.

 

L'impasse

La distribution semble simple et sans limite. Pourtant, si elle est encore possible avec 17 tronçons, elle est impossible pour 18.

Problème posé par le mathématicien polonais Hugo Steinhauss en 1964. Prouvé en 1970.

 

 

 

Pour k de 1 à 5, il y a exactement une villa dans chaque tronçon de longueur 1/k.

Pour k = 5, il y a 5 villas, une dans chaque cinquième de longueur.

 

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854.            Compter les triangles

Combien de triangles dans cette figure ?

L'approche consiste à compter les triangles seuls ou assemblés:

 

*      Triangles isolés: 9;

*      Triangles par 2: 28, 34, 35, 46, 56: 5;

*      Triangles par 3: 128, 153, 156, 287, 467, 567: 6;

*      Triangles par 4: 1253, 2879, 4678, 5679, 6789 : 5;

*      Triangles par 5: 13456, 34567 : 2;

*      Triangle par 6: 0;

*      Triangle par 7: 1256789: 1;

*      Triangle par 8: 12345678: 1.

 

Total: 9 + 5 + 6 + 5 + 2 + 0 + 1 + 1 = 29

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855.            Règle des 72

Méthode pour estimer rapidement le doublement d'un placement, ou toute chose croissante.

 

La règle des 72 est utilisée depuis la Renaissance (Luca Pacioli – 1494).

 

Soit t le taux de croissance

et T la durée en années (ou périodes) de la croissance pour obtenir un doublement:

 

Exemples

Avec un taux de croissance de 1%, le doublement intervient en 72 ans (environ; réalité: 69,3 ans).

Avec un taux de croissance de 2%, le doublement intervient en 72/2 = 35,5 ans.

Avec un taux de croissance de 10%, le doublement intervient en 72/10 = 7,2 ans.
Avec un taux de croissance de t %, le doublement intervient en 72 / t années.

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856.            Divisibilité des factorielles

 

Propriété

Voyons une propriété plus simple que celle énoncée par le théorème de Wilson.

On sait évidemment que tous les nombres jusqu'à n divisent le nombre factoriel n.

 

Mais, est-ce que le nombre n divise la factorielle précédente (n – 1) ! ?

Par exemple, est-ce que 6 divise 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ?

La réponse est toujours oui pour n supérieur à 4, sauf si le nombre n est premier.

 

Théorème

Si n > 4 est composé alors n divise (n – 1)!

  

 

Exemples

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857.            Quadrature du cercle

 

Les Anciens ont cherché à dessiner à la règle et au compas un carré qui aurait la même aire que le cercle.

 

Ils n'arrivaient qu'à des solutions approchées sans trouver la bonne.

 

En 1882, Lindemann trouve le fin mot: la constante Pi est transcendante (décimales diverses sans fin) et la construction est définitivement déclarée impossible.

 

 

En 1925, Tarski propose une nouvelle piste: la dissection. Est-il possible de composer un carré et un cercle de même aire en utilisant les mêmes pièces élémentaires.

 

En 2002, après de nombreuses avancées, trois mathématiciens publient une solution comportant plus de dix mille pièces.

 

Ce sont des pièces qui ne peuvent pas être découpées aux ciseaux; elles sont même non mesurables !

  

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858.            Construction brouette

 

Comment rapidement construire un carré ayant l'aire d'un cercle ?

 

Construction

Cercle de rayon  OA  = 1.

Prolonger OA tel que AB = Pi .

Milieu O' de AB.

Cercle (O', O'O).

Perpendiculaire AC en A à AB.

Carré de côté AC.

Alors l'aire du carré vaut Pi comme celle du disque.

 

Remarque

Ceci n'est pas une construction à la règle et au compas. Elle nécessite la construction de la longueur de Pi, ce qui est impossible.
  

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859.            Puissance 5

 

Théorème

N et N5 ont la même unité.

Même chose pour la puissance 9.

 

Exemples

115 = 161 051 ; 125 = 248 832 ; 135 = 371 293

 

Explications

Identifions les unités: N = 10A + u

À la puissance 5, tous calculs faits: N5 = 10B + u5

Or les chiffres à la puissance 5 se retrouvent en unité.

(Voir le tableau)

 

Pour information: le développement de N5

 

 

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