NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Maths en se divertissant

 

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BRÈVES de MATHS

 

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Brèves

 

Atlas des maths

 

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BRÈVES de MATHS – Page 44

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

860.            Fractions et produits

Égalité entre fractions

Cette égalité est intéressante. Mais comment la trouver et en trouver d'autres ?

 

Calcul

Décomposition en deux fractions dont les numérateurs sont inconnus.

Réduction au même dénominateur.

Comparaison des numérateurs qui forment un système de deux équations.

Sa résolution donne la valeur de a et celle de b.

 

 

Brèves associées

>>> Fraction – Construction géométrique

>>> Brèves Calculs – Index

Pour en savoir plus

>>> Diverses fraction avec produits

>>> Application aux calculs de suites

 

 

861.            Triplets pannumériques

 

Triplets pannumériques

Suite de trois nombres de trois chiffres comportant tous les chiffres de 1 à 9, comme 123, 456 et 789.

 

Triplets pannumériques en progression arithmétique

Quels sont les triplets dont la différence entre eux est une constante ?

Le tableau montre les douze cas pour lesquels la différence est 333 en valeur absolue: d = b – a = c – b = ± 333. C'est la raison de la progression arithmétique.

 

Nombreux ?

Oui ! Il existe 116 raisons différentes (de 59 à 411) pour un total de 392 solutions avec a < b < c et autant en inversant a et c.

Le nombre b peut prendre 25 valeurs de 126 à 678.

 

Solutions pour la raison 333

Brèves associées

>>> Carrés et cubes

>>> Brèves Relations – Index

Pour en savoir plus

>>> Pannum. en progression arithmétique

>>> Pannumériques

 

 

 

862.            Puissance de 3 en 00001

 

Étude des premières puissances de 3 modulo 10 (ou, autrement-dit, des unités de 3k).

Les valeurs sont cycliques de période 4.

 

Le reste 1 est obtenu pour des puissances de 3 en 4k.

Le reste en 01 est obtenu pour des puissances de 3 en 20k, etc.

 

Pour des restes en 00…01:

La première puissance de 3 se terminant par 00001 est 3 puissance 5 000.

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>>> Puissances des chiffres

>>> Brèves Motifs – Index

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>>> Puissance de 3

>>> Nombre 5000

 

 

863.            Bissectrices et cercle inscrit

 

Construction

Triangle ABC et son cercle circonscrit.

Bissectrices (roses).

Intersections avec le cercle en D, E et F

 

Propriété

Les côtés du triangle DEF (vert) sont perpendiculaires avec les bissectrices.

 

Démonstration

On note A, B et C les angles en ces sommets.

Même arc intercepté: angles 1 égaux, et ils valent A/2.

Angle 2 = 180 – BIC = 180 – (180 – 4 – 5) = 4 + 5  = B/2 + C/2

Triangle: 1 + 2 + 3 = 180 = A/2 + B/2 + C/2 + 3  = 180/2 + 3
=> 3 = 180 – 90 = 90°.

  

Brèves associées

>>> Cercles et angles

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Bissectrices

>>> Remarquables dans le triangle

 

 

864.            Deux barres obliques

 

Construction

La base AC est de longueur L variable.

Deux barres verticales AB et CD de longueur a et b.

Deux barres obliques AD et BC.

 

Propriété

La hauteur EF du point d'intersection F ne dépend que de AB et CD, mais pas du tout de L = AC.

 

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>>> Brèves Énigmes – Index

Pour en savoir plus

>>> Barres dans le puits

>>> La chèvre qui broute

 

 

 

865.            George Dantzig (1914-2005)

 

George Dantzig est un mathématicien américain (né en Orégon).

 

Preuve de sa capacité mathématique: alors étudiant, il résout deux problèmes qui résistaient aux mathématiciens (Voir anecdote ci-contre).

 

Il est l'inventeur de l'algorithme du Simplex destiné à, par exemple, l'optimisation d'une production sous diverses contraintes.

 

Son père, Tobias Dantzig, est un mathématicien russe ayant étudié avec Henri Poincaré à Paris.

 

À l'université de Berkeley-Californie, le professeur fait part de deux problèmes ouverts en statistiques en les notant au tableau.

Dantzig est en retard. Il voit ces deux problèmes et les prend pour devoirs à faire à la maison.

Quelques jours plus tard, il rend son travail proposant une solution pour chacun des deux problèmes.

Six semaines plus tard, son professeur (Jerzy Neyman) se rend chez lui pour lui annoncer qu'il avait résolu deux problèmes de statistiques encore non élucidés.

Dantzig commente: il est vrai que j'ai trouvé ces exercices un peu plus durs que d'habitude.

Brèves associées

>>> Gauss

>>> Brèves Biographies – Index

Pour en savoir plus

>>> Algorithme du Simplex

>>> Statistiques

>>> Contemporains de Dantzig

>>>  Henri Poincaré (1854-1912)

 

 

 

866.            Triangles rectangles inscrits

But

Construire le triangle rectangle inscrit dans le cercle bleu et dont les deux côtés (cathètes) passent par les points A et B donnés.

 

Construction

Segment AB et son milieu G.

Cercle (G, GA).

Intersections C et D: ce sont les sommets de deux triangles rectangles potentiels. En effet: les angles en C et D sont droits car interceptant un diamètre.

Le tracé des deux rectangles est immédiat.

Brèves associées

>>> Pentagone de l'arpenteur

>>> Brèves Construction – Index

Pour en savoir plus

>>> Triangle rectangle – Constructions

>>> Triangle rectangle

 

 

 

867.            Nombres en 12111…

Un motif qui donne envie de formuler une conjecture …

 

*      Tous les nombres de ce tableau – nombre en 1 sauf le deuxième chiffre qui est 2 – sont composés.

*      Est-ce que cette suite continue sans nombre premier ?

*      Non ! Mais, il faut atteindre un tel nombre en 1211… avec 137 fois "1" (138 chiffres) pour trouver un nombre premier.

 

Avec d'autres chiffres que le "2" ?

1, 1, 11

2, 137, 12111…

3, 1, 13

4, 10, 14111111111

5, 2, 151

6, 4, 16111

7, 1, 17

8, 2, 181

9, 1, 19

Le plus petit nombre premier de la forme 1k111…

Sauf pour 2, cette forme est vite un nombre premier.

Par exemple avec k = 5, le nombre avec deux "1" (151) est premier.

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>>> Nombre 121

>>> Nombres et motifs – Index

 

 

 

868.            Énigme elliptique

 

Problème

On demande la plus petite valeur de a, b et c positifs non nuls pour résoudre cette équation.

 

Résolution

En fait, lé résolution est absolument impossible sans un diplôme de mathématiques supérieures.

La solution n'est pas même accessible par balayage de toutes les possibilités à l'aide d'un ordinateur.

La solution, via un calcul sur des fonctions elliptiques,  existe bel et bien mais avec des nombres de 80 chiffres.

 

 

Équation à résoudre

 

Exemples de calculs

Mais 2 n'est pas 4.

 

Mais a est négatif

  

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>>> Énigme elliptique

>>> Courbes elliptiques

 

 

 

869.            Diagonales du cube

 

Énigme

Quelle est la valeur de l'angle ?

Proposé par Martin Gardner

 

Solution

Faire pivoter le cube pour faire apparaitre trois faces.

Le tracé d'un troisième segment dévoile un triangle équilatéral.

En effet, les trois segments sont les diagonales de carrés identiques.

L'angle vaut 60°.

 

Angle entre une diagonale externe et une diagonale interne:

 

Longueurs des diagonales pour un cube unité

Les six diagonales externes réunies par trois forment des triangles équilatéraux. Leurs côtés valent .

Les trois diagonales internes se croisent à angles droits et mesurent .

   

   

 

 

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870.            Triangle équilatéral en A4

 

Construction – Premier angle de 60°

Amener le sommet du rectangle sur la médiane du rectangle (pointillés) 

On obtient le triangle vert.

L'angle droit en bas-droite a été trisectionné, soit 3 × 30°. (Valable du fait du format A4).

 

Construction – Deuxième angle de 60°

Amener le sommet haut-gauche sur la pliure réalisée précédemment.

On obtient le trapèze rectangle vert.

L'angle en haut vaut 60°.

Le triangle ayant deux angles à 60° est équilatéral.

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871.            Berlingot

 

Construction

Une feuille de carton rectangulaire.

Enroulée en cylindre.

Pincement à une extrémité et soudure.

Remplissage avec le produit (lait, shampoing, eau de Javel, …).

Idem de l'autre côté, mais perpendiculairement au premier pincement.

Avantages

Pas de chutes de carton.
Facile à construire.

Empilement possible.

Encombrement réduit

 

Brique tétraédrique ou berlingot

   

Tetrahedral package

Tetrahedron-shaped pouch

 

 Inventé en 1951 par Ruben Rausing puis fondation de la société Tetra Pak à Lund en Suède; emballage Tetra Brik® en 1959.

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872.            Équation en puissance de x

6^x+4^x = 9^x

 

Intuition ou piste ?  Les nombres 4 et 9 sont des carrés; les carrés de 2 et 3; et 2 x 3 = 6 qui se trouve être l'autre nombre. En divisant par 4x, on se retrouve avec les deux carrés à droite sous la forme de 9x/ 4x = (3/2)2x. Suivons cette piste …
Notons que 6x + 4x = 10x conduirait à la racine évidente x = 1. On est proche !

 

 

Note sur le calcul des puissances avec parenthèses:

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873.            Les trois ampoules

 

Énigme

Trois ampoules éteintes dans une pièce fermée.

Trois interrupteurs dans le couloir, chacun allumant une ampoule.

Comment faire pour dire quel interrupteur commande quelle ampoule ?

 

Réponse

Appuyez sur les deux interrupteurs A et B.

Attendre cinq minutes et éteindre B.

Ouvrir la porte et entrez dans la pièce.
A commande l'ampoule allumée;
B commande l'ampoule chaude; et
C commande la troisième ampoule.

 

Commentaire

Énigme archi classique, mais parfois mal posée (avec une seule ampoule, par exemple).

  

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874.            Magie avec l'âge

 

Tour de magie

Pense à ton année de naissance et ta pointure de chaussure.

Je suis capable de les trouver et les faire apparaitre dans un nombre.

 

Explications (voir calcul littéral)

Le "100 fois P" isole la pointure dans les centaines.

Le 2022 moins Année de naissance donne l'âge, un nombre à deux chiffres qui se retrouve dans les unités et les dizaines.

NB. Ajuster le 1022 à l'année en cours !

 

Exécution

Effectue les calculs numériques comme dans ce tableau.

Le résultat 3813 donne la pointure 38 et l'âge, 13 ans.

 

Calculs

  

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875.            Maman et papa

 

Il s'agit de résoudre ce cryptarithme, nommé alphamétique, lorsque les mots ont une signification et une cohérence.

L'auteur le propose comme une initiation à ce type de récréation mathématique, voire comme exercice pédagogique.

 

  

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>>>
ABCDE = k . EDCBA

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876.            Aire – Compter les points

 

Théorème de Pick

L'aire du polygone dont les sommets sont sur un quadrillage est fonction de ces deux quantités de points:

*      P = quantité de points sur la frontière (le périmètre)

*      Q = quantité de points à l'intérieur de la frontière.

A = P/2 + Q – 1

 

Pentagone quelconque (exemple)

L'aire de ce pentagone est égale à:
A = aire du rectangle qui l'entoure: 4
× 6 = 24
moins les portions externes: 1,5 + 1 + 1 + 3 + 1 + 2 + 2 =   11,5 Soit A = 24 – 11,5 = 12,5

 

Formule de Pick

1.    Compter les points rouges P = 5;

2.    Compter les points bleus Q = 11;

3.    Appliquer la formule;

A = P/2 + Q – 1
A = 5/2 + 11 – 1 = 12,5

   

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877.            Aire – Méthode des lacets

 

Aire du polygone quelconque

L'aire du polygone dont les sommets sont connus par leurs coordonnées est simple à calculer.

 

Procédé

*      Lister les coordonnées dans l'ordre en répétant la première ligne en dernier.

*      Calculer selon les croix avec, en rouge, un signe moins: ex: (1 x 2) – (1 x 6) = – 4.

*      Ajouter tous ces résultats.
C'est le double de l'aire.

 

 

Calculs

A = 24

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878.            Factorisation de a^n + b^n

 

Degré IMPAIR

Seuls les binômes de degré impair sont divisibles par a + b.

Exemples pour les degrés 3 et 5 =>

 

 

Degré PAIR

Jamais divisible par a + b

sauf cas figurant sur ce tableau.

 

Ex: (2² + 6²) / (2 + 6) = 40 / 8 = 5

(34 + 64) / (3 + 6) = 1377 / 9 = 153

 

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879.            50^99  et 99!

 

Comparer ces deux valeurs sans les calculer

 

5099 = 50 ×      × 50 × 50 × 50 ×              50

99! = 1 × 2 ×  … × 49 × 50 × 51 × … × 98 × 99

 

Première observation: les deux nombres ont la même quantité de facteurs (99) et le facteur central est 50 dans les deux cas.

Deuxième point: procédons chaque fois au produit de deux facteurs symétriques par rapport à 50:
Dans un cas toujours: 50 x 50 = 2500
Dans l'autre: 1 x 99, 2 x 98 jusqu'à 49 x 51 = 2 499.
Ils sont tous inférieurs à 2500.

C'est 5099 qui est plus grand que 99!.

 

Comparaison de ces grands nombres

 

99! = 37,623100499

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