NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Atlas des maths

 

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BRÈVES de MATHS – Page 45

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

880.            Carré et dominos

 

Énigme

Le patron classique du cube est un ruban de six carrés.

Nous disposonts d'un patron à sept carrés. Comment reformer le cube sans couper le ruban ?

Proposé par Martin Gardner

 

Solution

Opérer les deux pliages en équerre comme indiqué.

Raccorder les deux surfaces triangualires pour reconstituer une des faces.

Rabatter les deux carrés d'extrémité.

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881.            Triangle équilatéral sur parallèles

 

Problème

On donne trois droites parallèles: D1, D2 et D3.

Construire un triangle équilatéral ABC dont les sommets sont sur ces parallèles.

 

Construction

Choisir un point A sur D1.

Faire une rotation de 60° avec D3 pour obtenir D'3. Pour cela:

*    Perpendiculaires AH.

*    Cercle (A, AH); Cercle (H, AH); intersection G.

*    Segment AG; Perpendiculaire à AG en G; C'est une tangente et c'est la droite D'3.

*    Pour info: le triangle AHG est équilatéral.

 

Intersection D2 et D'3 en C.

Cercle (A, AC), non représenté; Intersection avec D3 en B.

ABC est le triangle équilatéral demandé.

 

 

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882.            Rectangle plié en tiers

 

Plier la feuille exactement en trois

 

Prendre une feuille rectangulaire.

Obtenir le pli de la grande diagonale.

Et aussi le pli de la petite "diagonale" (du sommet au milieu du côté opposé).

 

Le point F est au tiers de la longueur comme au tiers de la largeur.

 

 

  

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883.            Partitions palindromiques

 

Somme palindrome

Tout nombre peut être décrit par de nombreuses sommes dites partitions du nombre.

Parmi celles-ci, certains peuvent être arrangées sous la forme d'un palindrome: lisible aussi de droite à gauche.

 

Cas du nombre 37

La première somme se lit 10 + 17 + 10 dans les deux sens en énonçant les nombres.

Les trois autres sont palindromes en chiffres: la lecture des chiffres peut se faire dans les deux sens.

 

 

 

Le nombre 37 compte 21 637 partitions

dont 297 sont palindromique en nombres.

  

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884.            Ensemble QUOTIENT

 

Ensemble partagé

Une collection (on dit un ensemble) d'objets ronds, triangulaires et carrés.

J'aime l'ordre. Je les range par familles, chacune dans une boite.

Je me retrouve avec une grande boite dans laquelle se trouvent trois plus petites boites, notées R, C et T.

J'ai partagé mon ensemble en trois boites (on dit en trois classes).

L'ensemble ainsi partagé est nommé ensemble quotient.

  

 

  

 

Ensemble quotient des nombres

Cette notion s'applique aux nombres.

Je peux partager l'ensemble des nombres en pairs et impairs, réalisant un ensemble quotient par 2.

 

Prenons l'ensemble du quotient par 4.
Il y aura quatre classes:

*      Les multiples de 4: 0, 4, 8, 12, …

*      Ceux qui divisés par 4, ont un reste de 1: 1, 5, 9, 13 …

*      Ceux avec un reste de 2: 2, 6, 10, 14 …

*      Ceux avec un reste de 3: 3, 7, 11, 15 …

On note N4 ou N/4N ou avec Z s'il s'agit des nombres relatifs.
   

Notation des ensembles quotient des nombres

 

Z est le symbole de l'ensemble des nombres entiers relatifs (les négatifs comme les positifs).

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885.            Construction des racines carrées

 

La méthode la plus simple pour construire la racine carrée d'un nombre n quelconque consiste à construire cette figure en demi-cercle:

*      Segment AB de longueur n;

*      Segment BC de longueur 1, dans le prolongement de AB.

*      Demi-cercle de diamètre n + 1;

*      Perpendiculaire en B à AB; intersection E avec le cercle.

*      La longueur de la hauteur BE est égale à la racine carrée de n.

 

 

EB² = AB × BC

 

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886.            Égalités surprenantes

Quatre jeux d'égalités

Connues des Chinois il y a 3000 ans

Somme des entiers et somme de leurs carrés, puis nombres deux fois tronqués à gauche

  

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887.            Hauteur d'un nombre premier

 

Principe

Il s'agit de caractériser un nombre premier par le plus grand facteur de son voisin juste inférieur.

Une itération converge vers le nombre premier 2.

La hauteur du nombre premier est égale à la quantité d'itérations.

 

Procédé

*    Un nombre N.

*    Le plus grand facteur PGF de N – 1.

*    N prend la valeur de PGF.

*      Recommencer en prenant son plus grand facteur.

*      Arrêt des itérations lorsque PGF = 2.

  

 

Exemple avec le nombre premier 2 879

La hauteur du nombre 2 879 est 8 et c'est le plus petit nombre premier avec H = 8.

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888.            Calendrier à deux dés (ou à Dédé !)

 

Calendrier perpétuel

Ce calendrier en bois comporte:

* trois barres dont les douze faces montrent les douze mois de l'année;

* souvent, mais pas ici, deux autres barres dont sept des huit faces indiquent les jours de la semaine; et

* deux cubes qui sont orientés pour indiquer le jour du mois: soit douze faces pour trente-et-un jours. Pas possible ! Eh bien, si !

 

Disposition

La figure montre le patron des deux cubes et la disposition des nombres.

Avec ces deux cubes, il est possible de montrer tous les nombres de 1 à 31 à une condition, ou une astuce, près: le 6 sert aussi à montrer le 9 en retournant le cube.

 

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889.            Carré manquant

 

Paradoxe du carré manquant

Dans un carré, on découpe huit triangles et quatre carrés.

En les assemblant différemment, on recompose le carré, mais – surprise ! – un trou central carré fait prend palce au centre.

 

Explication

Il se trouve que les deux carrés ne sont pas tout à fait identiques.

Du moins, en utilisant les mêmes pièces, l'un d'eux n'est pas tout à fait un carré.

 

 

Avec les mêmes pièces, il existe un trou carré au centre

dans la figure de droite !

 

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890.            Mondes parallèles

 

Changement de monde

Les mathématiciens utilisent souvent l'artifice du passage dans un autre monde pour contourner des difficultés de calculs:

*      l'utilisation des logarithmes pour transformer une multiplication en addition;

*      les nombres complexes pour résoudre certaines équations;

*      les congruences pour approfondir la théorie des nombres;

etc.

  

 

Nombre p-adiques

Une invention datant de 1897 qui, avec le temps, s'est révélée d'une efficacité redoutable pour étudier propriétés structurantes des ensembles de nombres, et qui a trouvé des applications dans de nombreux domaines comme la physique quantique.

L'idée de départ est assez simple: les nombres réels s'écrivent avec une quantité de chiffres limitée à gauche et infinie à droite (3,333…). Un nombre p-adique s'écrit de façon inverse: …333,3, les chiffres sont illimités à gauche.

En utilisant ces nombres traduits dans toutes les bases p premier, la division par zéro n'est plus un problème.

 

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891.            Superordinateur – EXAFLOPS

 

Superordinateurs

En juin 2022, l'ordinateur le plus puissant du monde exécute plus de un exaflops.

Ce sont presque 600 000 microprocesseurs individuels (des cœurs ou cores) qui fonctionnent en même temps (en parallèle).

 

ExaFlops

Exa veut dire: 1018 soit un milliard de milliards.

Flops: veut dire opérations flottantes par seconde. Il faut plusieurs instructions pour réaliser une addition, par exemple, et cela avec des nombres plus ou moins grands (flottants).

 

Une idée de la puissance de calcul

À raison de 1 seconde pour faire un calcul, il faudrait quatre ans à toute l'humanité pour égaler le travail de cet ordinateur en une seconde.

 

Superordinateur Frontier de Cray

 

 

 

Il est installé au Oak Ridge National Laboratory –Tennessee, États-Unis.

 

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892.            Dérivée et intégrale

 

En bref

L'aire sous la courbe A(x) est l'intégrale de la fonction f(x)

La pente de la courbe en x est la dérivée de la fonction en x.

 

Encadrement

On établit la relation suivante entre les aires:

 

En divisant par h et en passant aux limites:

 

Avec h tendant vers zéro:

 

 

Conclusions

*    il existe une fonction A(x) qui détermine l'aire sous la courbe de f(x).

*    f(x) est une fonction dérivée de A(x) et

*    A(x) est une primitive de f(x).

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893.            Division par 9 - Mentale

 

Un truc bluffant

Il permet d'effectuer la division par 9 au fil des chiffres, de gauche à droite.

 

Procédure

1)    Garder le premier chiffre;

2)    L'ajouter au suivant et c'est le chiffre suivant;

3)    Si ce nouveau chiffre est 9 ou plus,

*      ajouter 1 au précédent, et

*      retirer 9 au chiffre en cours;

4)    Le dernier chiffre est la première décimale:

*      nul si le nombre est divisible par 9,

*      sinon elle se répète indéfiniment.

 

Exemples

 

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894.            Somme de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan (1887-1920) fait ce calcul étrange qui mène à un paradoxe:

La somme des entiers vaut

1 + 2 + 3 + 4 + … = – 1/12

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895.            Identité d'Euler sur les séries

 

Euler fait ce simple calcul et trouve que la somme des nombres ajoutée à celle de leur inverse est nulle. Paradoxe !

 

Cette étrange propriété sera exploitée pour calculer les non moins étranges nombres p-adiques.

 

Ceux-ci sont les cousins miroir des nombres réels: ils s'écrivent avec des chiffres en nombres infinis mais vers la gauche.

 

Calcul d'Euler

 

Exemples de nombres p-adiques

… 45

… 121212,0

… 12712745

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896.            Que de zéros …  & p-adiques

Avec les puissances de 52 et de 25 deux phénomènes à noter:

*      les chiffres de droites se conservent, et

*      le produit engendre quantité de zéros.

La production de zéros n'est pas étonnante du fait des deux facteurs 2 x 5 = 10.

En éliminant les chiffres non répétitifs, on obtient ce tableau remarquable (en bas).

Il s'agit de produits qui donnent une idée de ce que sont les nombres p-adiques: des nombres sans fin mais vers la gauche.

 

Exemple

…90625 × …6432 = …0000

 

 

Produits avec tous les chiffres

 

Produits avec des nombres tronqués

etc.  

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897.            Combien de carrés

 

Énigme

Ce problème, viral sur Internet, passe pour être très difficile à résoudre. Il s'agit de compter la quantité de carrés. Si vous trouvez 40, vous êtes un génie.

Test annoncé comme viral ?  Il s'agit souvent d'annonces intrigantes qui appellent votre clic !

 

Solution

Il faut un peu d'attention pour identifier cinq tailles de carrés.

Alors, il suffit de les compter selon la taille du côté.

 

Tableau du décompte

Il y a bien plus de carrés que vous le pensez

 

 

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898.            Constante du sofa

 

Problème du sofa

Problème formalisé par le mathématicien Leo Moser en 1966.

Trouver la forme rigide plane d'aire maximale que l'on peut déplacer dans un couloir d'un mètre de large avec un angle droit (en forme de L).

Problème non résolu.

 

Solution simple

Sofa demi-circulaire de rayon unité.

L'aire est alors égale à:   = 1,5707…

 

Constante du sofa = aire maximale du sofa

Elle est comprise entre:

*      2,2195…  obtenu avec une forme conçue par Gerver en 1992 et par Gibbs en 2014;

*      2,37, valeur prouvée en 2017 par Yoav Kallus et Dan Romik.

  

 

Solution de John Hammersley (1968)

Un demi-cercle de rayon unité, coupé en deux, augmenté d'un rectangle intermédiaire, lequel est évidé d'un demi-cercle. Aire:

 

   Source image: Wikipédia

 

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899.            Quel est le poids des trois ?

 

Énigme plus subtile qu'il n'y parait

On donne le poids pour certaines combinaisons de ces trois objets.

On demande le poids de ces trois objets réunis.

 

Solution

J'ai fait de l'algèbre, alors je mets en équations avec trois inconnues … 

Oups, il ya beaucoup plus simple.

En ajoutant les trois pesées, on obtient:
2 triangles + 2 disques + 2 carrés = 120 kg

Le poids pour un seul de chaque est: 120 / 2 = 60 kg.

 

Résolution

Quel est le poids des trois objets réunis ?

 

 

 

Leçon

Attention à bien lire l'énoncé: on demande le poids des trois et non de chacun.

Un petit temps de réflexion supplémentaire, évitera de se lancer dans un calcul algébrique.

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